1679
правок
Изменения
попытка доказать очевидное
{{Определение
|definition=
Оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''непрерывно обратимым''', если существует <tex> A^{-1} : Y \to X </tex> и <tex> \| A^{-1} \| < \infty </tex>.{{TODO|t=от обратного оператора требуется, чтобы он был определен на всем кодомене, или только на образе?}}
}}
|statement=
Пусть <tex> A : X \to Y </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, и <tex> m \| x \| \le \| Ax \| </tex>.
Тогда <tex> A </tex> непрерывно обратим.{{TODO|t=m>0, видимо, имеется в виду? Иначе это всегда выполняется.}}
|proof=
{{TODO|t=Упражнение, доказать самим. Необходимо заткнуть.}}
Некоторые идеи:
: Можно заметить, что в ядре только нулевой вектор, в противном случае получим <tex> < m \|x\| \le \|A x\| = 0</tex>. Из этого также следует, что оператор инъективен: пусть <tex>A x_1 = y, A x_2 = y</tex>, тогда <tex>A (x_1 - x_2) = 0</tex>, что возможно только когда <tex>x_1 = x_2</tex>. Вообще если бы мы могли показать, что из того, что размерность ядра равна 0 следует, что образ совпадает с <tex>Y</tex>, было бы неплохо.
: Также можно заметить, что это отображение допускает априорную оценку решения, так как <tex>\|x\| \le \frac{1}{m} \|A x\|</tex>, из чего по уже доказанному следует замкнутость образа (неясно только нафига это может понадобиться) --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 17:16, 9 января 2013 (GST)
}}
