Изменения

Пусть <tex> A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex> — линейный оператор. Тогда <tex> \forall x \in \mathbb{R}^m \ ||Ax|| = c_A C_A || x || </tex>, где <tex> c_A C_A = \sqrt{\sum_{i, j} a_{i, j}^2} </tex> (<tex> a_{i, j} </tex> — элементы его матрицы)|proof=<tex> ||x|| = 0 </tex>, т.е. если <tex> x = 0 </tex>, то тривиально <tex> ||Ax||^2 = \sum_{i = 1}^{l}(\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}x_{j})^2 \le </tex> (КБШ) <tex> \sum_{i = 1}^{l}((\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2})) = (\sum_{i = 1}^{l}\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2}) </tex> <tex> x^{(k)} \rightarrow x </tex> <tex>||x^{(k)} - x|| \rightarrow 0 </tex>  <tex> Ax^{(k)} \xrightarrow{?} Ax </tex> <tex> ||A(x^{(k)} - x)|| \le C_A||x_k - x|| </tex>