1679
правок
Изменения
ААААА
Тогда хотя бы одно <tex> X_n </tex> ''всюду плотно в <tex> X </tex>''.
|proof=
Очевидно, что <tex> X = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} X_n </tex>, <tex> X </tex> {{---}} B-пространство (а значит, и полное метрическое), значит, по [[теореме Бэра о категориях]], <tex> X </tex> {{---}} 2 категории, то есть в какомкакое-то шаре множество <tex> \overlineX_{V_r(a)n_0} </tex> есть такое всюду плотно в <tex> X_{n_0} X</tex>, что оно а, значит, и всюду плотно в этом произвольном шаре<tex> \overline{V_r(a)} \subset X</tex>.
Рассмотрим кольцо: <tex> \{z \mid \frac r2 \le \| z - a \| \le r \} </tex>. Обозначим <tex> y = z - a </tex>, тогда кольцо имеет следующий вид: <tex> \{\frac r2 \le \| y \| \le r \} </tex> {{---}} кольцо с центром в <tex> 0 </tex>.
