1632
правки
Изменения
м
{{В разработке}}
==Операции сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения корня==
===Сложение===
{{Определение
|definition=
'''Сложение''' — бинарная операция, определённая на некотором множестве, элементы которого мы будем называть числами, при которой двум числовым аргументам (слагаемым) ''a'' и ''b'' сопоставляется итог (сумма), обычно обозначаемый с помощью знака «плюс»: ''a''+''b''.
}}
Сложение обладает следующими свойствами:
* коммутативностью (''переместительный закон''): <tex>a + b = b + a</tex>
* ассоциативностью (''сочетательный закон''): <tex>(a + b) + c = a + (b + c)</tex>
===Вычитание===
{{Определение
|definition=
'''Вычитание''' - бинарная операция, обратная сложению.
}}
Таким образом, выражение <tex>c - b = a</tex> можно переписать в виде <tex>a + b = c</tex>.
===Умножение===
{{Определение
|definition=
В арифметике под '''умножением''' понимают краткую запись суммы одинаковых слагаемых. Например, запись 5*3 обозначает «сложить три пятёрки», то есть является просто краткой записью для 5+5+5. Результат умножения называется ''произведением'', а умножаемые числа — ''множителями'' или ''сомножителями''.
}}
Умножение обладает следующими свойствами:== См. также ==* коммутативностью (''переместительный закон''): <tex>a \cdot b = b \cdot a</tex>[[Натуральные числа | Натуральные числа]]* ассоциативностью (''сочетательный закон''): <tex>(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)</tex>[[Вещественные числа | Вещественные числа]]* существованием обратного элемента: <tex>a \cdot 1 = a</tex>[[Простые числа | Простые числа]]* дистрибутивностью относительно умножения (''распределительный закон''): <tex>a \cdot (b + c) = a\cdot b + a\cdot c</tex>[[Основная теорема арифметики | Основная теорема арифметики]]
===Деление===
rollbackEdits.php mass rollback
==Определение натуральных чисел==
''Oсновная статья:'' [[Натуральные числа | Натуральные числа]]===Неформатное Неформальное определение===
{{Определение
|definition=
'''Натура́льные чи́сла''' (англ. ''natural numbers'', естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).
}}
Отрицательные и нецелые числа натуральными числами не являются.
Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком <mathtex>\mathbb{N}</mathtex>. Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число. ===Аксиомы Пеано===
===Формальное определение===
Определить множество натуральных чисел позволяют '''аксиомы Пеано''' (англ. ''Peano axioms''):
{{Определение
|definition=
# <tex>1\in\mathbb{N}</tex> (<tex>1</tex> является натуральным числом);
# Если <tex>x\in\mathbb{N}</tex>, то <tex>S(x)\in\mathbb{N}</tex> (Число, следующее за натуральным, также является натуральным);
# <tex>\nexists x\in\mathbb{N}\ (S(x) = 1)</tex> ('''<tex>1''' </tex> не следует ни за каким натуральным числом);
# Если <tex>S(b)=a</tex> и <tex>S(c)=a</tex>, тогда <tex>b=c</tex> (если натуральное число <tex>a</tex> непосредственно следует как за числом <tex>b</tex>, так и за числом <tex>c</tex>, то <tex>b=c</tex>);
# '''Аксиома индукции'''. Пусть <tex>P(n)</tex> — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа <tex>n</tex>. Тогда:
* <tex>3=\Big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\},\;\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}\Big\}</tex>
Классы эквивалентности этих множеств относительно биекций также обозначают <tex>0, 1, 2, …\dots.</tex>
Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивные представления о «натуральном ряде».
{{Определение
|definition=
Множество '''целых чисел''' (англ. ''integers'') <tex>\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}\,</tex> определяется как замыкание множества натуральных чисел <tex>\mathbb{N}</tex> относительно арифметических операций сложения <tex>(+) </tex> и вычитания <tex>(-)</tex>.
}}
Таким образом, сумма, разность и произведение двух целых чисел есть снова целые числа. Оно состоит из натуральных чисел <tex>(1, 2, 3)</tex>, чисел вида '''-n''' (<tex>n\in\mathbb{N}</tex>) и числа нульноль.
Необходимость рассмотрения целых чисел продиктована невозможностью (в общем случае) вычесть из одного натурального числа другое. Целые числа являются кольцом относительно операций сложения и умножения.
{{Определение
|definition=
Множество рациональных чисел (англ. ''rational numbers'') обозначается <tex>\mathbb{Q}</tex> и может быть записано в виде: : <tex>\mathbb{Q} = \left\{ \fracdfrac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} \right\}.</tex>
}}
Нужно понимать, что численно равные дроби такие как, например, <tex>\fracdfrac{3}{4}</tex> и <tex>\fracdfrac{9}{12}</tex>, входят в это множество как одно число. Поскольку делением числителя и знаменателя дроби на их наибольший общий делитель можно получить единственное несократимое представление рационального числа, то можно говорить об их множестве как о множестве ''несократимых'' дробей со [[Взаимно простые числа|взаимно простыми]] целым числителем и натуральным знаменателем: : <tex>\mathbb{Q} = \left\{ \fracdfrac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}, \gcd(m,n) = 1 \right\}.</tex>
Здесь <tex>\gcd(m, n)</tex> — наибольший общий делитель чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex>.
Множество рациональных чисел является естественным обобщением множества целых чисел. Легко видеть, что если у рационального числа <tex>a=\fracdfrac{m}{n}</tex> знаменатель <tex>n=1</tex>, то <tex>a=m</tex> является целым числом. В этой связи возникают некоторые обманчивые предположения. Однако, хотя кажется, что рациональных чисел больше чем целых, и тех и других счётное число (то есть оба они могут быть перенумерованы натуральными числами, причём явно).
===Определение вещественных чисел===
''Oсновная статья:'' [[Вещественные числа | Вещественные числа]]{{Определение|definition='''Веще́ственное число''' (англ. ''real number'') — математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений.}}
С точки зрения современной математики, множество вещественных чисел — суть, непрерывное упорядоченное поле. Это определение, или эквивалентная система аксиом, в точности определяет понятие вещественного числа в том смысле, что существует только одно, с точностью до изоморфизма, непрерывное упорядоченное поле.
{{Определение
|definition=
'''Ко́мпле́ксные чи́сла''' — (англ. ''complex number'') — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается <tex>\mathbb{C}</tex>.
Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма <tex>x+iy</tex>, где <tex>x</tex> и <tex>y</tex> — вещественные числа, <tex>i</tex> — мнимая единица (одно из решений уравнения <tex>x^2 = -1</tex>).
}}
Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени <tex>n</tex> с комплексными коэффициентами имеет ровно <tex>n</tex> комплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры. Это одна из основных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях.
===Извлечение корня=Источники информации ==* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE/ Натуральные числа]* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D1%8B_%D0%9F%D0%B5%D0%B0%D0%BD%D0%BE/ Аксиомы Пеано]
[[Категория: Теория чисел]]
[[Категория: Классы чисел]]
