Изменения

Рассмотрим некоторое <tex>\lambda \in \mathbb C</tex>. Если для него существует и непрерывен оператор <tex>R_\lambda(A) = R\lambda = (A - \lambda I)^{-1}</tex> (<tex>I</tex> {{---}} единичный оператор), то он называется '''резольвентой'''. Множество <tex>\lambda</tex>, для которых существует <tex>R_\lambda</tex>, обозначается <tex>\rho(A)</tex>, и называется '''резольвентным множеством''', дополнение к нему обозначается <tex>\sigma(A)</tex> и называется '''спектром''' оператора <tex>A</tex>.

<tex>\sigma(A) \subset \{\lambda \mid |\lambda| < \le r_\sigma(A)\}</tex>

Проверим, при каких <tex>r_A - \sigma</tex> будет сходиться ряд <tex>lambda I = - \sumlambda (I - \limits_frac{n=01}^{\inftylambda} (\frac1\lambda A)^n</tex>. В этом случае оператор , найдем, при каких <tex>A - \lambda </tex> у <tex>I = -\lambda (I - \frac1frac{1}{\lambda } A)</tex>, очевидно, будет непрерывно обратиместь обратимый.

Если сходится <tex>\|\sum\limits_{n=0}^{\infty} (\frac1\lambda A)^n \| \le \sum\limits_frac{n=01}^{\inftylambda} |\frac1\lambda|^n \|A\|)^n</tex>, по радикальному признаку Коши, последний ряд сходится, если то он и будет совпадать с <tex>(I - \sqrt[n]frac{1}{|\frac1\lambda|^n \|} A\|)^n} = |\frac1\lambda| \sqrt[n]{\|A\|^n-1} \to |\frac1\lambda| r_\sigma < 1</tex>.(показывали это в [[Теорема_Банаха_об_обратном_операторе | теореме Банаха для I - C]])

То естьТак как пространство банахово, операторный ряд сходится если сходится соответствующий рад из норм: <tex>\|\sum\limits_{n=0}^{\infty} (\frac1\lambda A)^n \| \le \sum\limits_{n=0}^{\infty} |\frac1\lambda|^n \|A\|^n</tex>, по радикальному признаку Коши, последний ряд сходится, если <tex>\sqrt[n]{|\frac1\lambda|^n \|A\|^n} = |\frac1\lambda| \sqrt[n]{\|A\|^n} \to |\frac1\lambda| r_\sigma < 1</tex>. Таким образом, при <tex>r_\sigma < |\lambda|</tex>, обратный оператор к <tex>I - \frac{1}{\lambda}A</tex> существует, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>. Значит, и спектр полностью содержится во множестве, в котором <tex>r_\sigma(A) \subset V_{r_ge |\sigma}(0)lambda|</tex>.