Изменения
→Свойства корреляции
: <tex dpi = "150">Corr(\eta,\xi) = { E(\eta \times \xi) - E(\eta) \times E(\xi) \over \sqrt{D(\eta)} \times \sqrt{D(\xi)} } = { E(\xi \times \eta) - E(\xi) \times E(\eta) \over \sqrt{D(\xi)} \times \sqrt{D(\eta)} } = Corr(\xi,\eta)</tex>
}}
{{Утверждение
|statement=
Корреляция случайной величины с собой равна лежит на отрезке <tex>[-1, 1]</tex>:
|proof=
}}
{{Утверждение
|statement=
Если <tex> Corr(\eta, \xi) = \pm 1 </tex>, то <tex>\eta</tex> и <tex>\xi</tex> линейно зависимые
|proof=
Для доказательство используем доказательство свойства ковариации.
Так как у нас <tex> Corr(\eta, \xi) = \pm 1 </tex>
то это обозначает что <tex>Cov^2(\eta,\xi) = \sigma_\eta ^2\sigma_\xi ^2</tex>
равенство на этом неравенстве <tex>\sigma_\xi ^2t^2+2Cov(\eta,\xi)t+\sigma_\eta ^2 \ge 0</tex> выполняется только при условии что дискриминант равен нулю т.е. имеет один корень <tex> t_0 </tex>.
Из этого выходят <tex> E((\xi-E\xi +t_0 \eta - t_0 E\eta))=E((V + t_0 W)^2) = 0 </tex>
единственная случая это может произойти, если <tex> \xi-E\xi +t_0 \eta - t_0 E\eta = 0</tex>;
Ясно что <tex>\eta</tex> и <tex>\xi</tex> линейно зависимы.
}}
{{Утверждение
|statement=
Если <tex>\eta</tex> и <tex>\xi</tex> линейно зависимы то <tex>Corr(\eta, \xi)= \pm 1 </tex>.
|proof=
Предположим что <tex>\xi = k \eta + b</tex>.
Потом, мы имеем что <tex>E\xi=kE\eta + b</tex>; и так
<tex> Cov(\eta, \xi) = E((\eta - E\eta)(\xi - E\xi))=kE((\eta-E\eta)^2)=k\sigma_\eta ^2 </tex>.
Кроме того, по свойствам дисперсии,
<tex> \sigma_\xi ^2 = D[\xi] = E((\xi-E\xi)^2)= k^2 E((\eta-E\eta)^2)= k^2 \sigma_\eta ^2 </tex>
Из этого следует, что
<tex>Corr(\eta, \xi)= {Cov(\eta, \xi)\over \sigma_\eta \sigma_\xi}={k\over |k|}</tex>,
ясно что это равно на <tex>\pm 1</tex>, знак зависит от знака <tex>k</tex>.
}}
{{Утверждение
|statement=
<b>Но обратное неверно:</b>
Пусть <tex>\eta</tex> - [[Дискретная_случайная_величина|случайная величина]], распределенная симметрично около 0, а <tex>\xi=\eta^2</tex>. <tex>Corr(\eta,\xi)=0</tex>, но <tex>\eta</tex> и <tex>\xi</tex> - зависимые величины.
}}
