Изменения

1) Если квадратичная форма <tex> K h </tex> положительно определена, то существует такое <tex> \gamma > 0 gamma_h </tex>, что <tex> Kh(hx) \geqslant ge \gamma gamma_h |hx|^2 </tex> для всех <tex> h x \in \mathbb{R}^n m </tex> <br>2) Пусть <tex> p : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}_+ </tex> — норма. Тогда <tex> \exists c_1, c_2 > 0 \ \forall x \ c_1 |x| \leqslant p(x) \leqslant c_2 |x| </tex>.|proof=1) <tex> \gamma_h = min_{|x| = 1}h(x) </tex> (Сфера <tex> \{ x : |x| = 1 \} </tex> — компакт по т. Вейерштрасса <tex> \exists min </tex>) <tex> x = 0 : \text{ok} </tex> <tex> x \ne 0 : h(x) = h(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x|^2 \cdot h(\frac{x}{|x|}) \ge \gamma_h |x|^2 </tex> <tex> h(tx) = t^2 h(x) </tex> 2) <tex> c_1 := min_{|x| = 1} p(x); c_2 := max_{|x| = 1} p(x); </tex> — по т. Вейерштрасса (т.к. <tex>p(x)</tex> — непр.) <tex> x = 0 : \text{triv} </tex> <tex> x \ne 0 : p(x) = p(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x| \cdot p(\frac{x}{|x|}) \begin{matrix} \le c_2|x| \\ \ge c_1|x| \end{matrix} </tex> <tex> |p(y) - p(x)| \le p(x - y) = </tex> разложим по базису <tex> p( \sum_{k = 1}^m |y_k - x_k|l_k ) \le </tex> <tex> \le \sum |y_k - x_k|p(l_k) \le </tex> КБШ <tex> \sqrt{ \sum|x_k - y_k|^2 } \sqrt{\sum p(l_k)^2} = |x - y| \sqrt{\sum p(l_k)^2} </tex> <tex> \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta = \frac{\epsilon}{\sqrt{\sum p(l_k)^2}} </tex> <tex> \forall y : |x - y| < \delta </tex> верно <tex> |p(x) - p(y)| < \epsilon </tex>