315
правок
Изменения
→7 Эквивалентность норм в конечномерном НП.
= 7 Эквивалентность норм в конечномерном НП. =
{{Определение
|definition=
Нормы <tex>\| \|_1</tex>, <tex>\| \|_2</tex> '''эквивалентны''', если существуют константы <tex>m, M > 0</tex> такие, что <tex>\forall x: m\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le M \|x\|_2</tex>. Очевидно, что отношение эквивалентности норм является отношением эквивалентности (то есть выполняется рефлексивность, симметриченость и транзитивность).
}}
Это определение равносильно тому, что сходимость последовательностей в них равносильна: <tex>x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \Leftrightarrow x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x</tex>.
{{Определение
|definition=
Пространство <tex> X </tex> '''конечномерно''', если <tex> \exists n = dim X < \infty: \exists e_1, e_2, \ldots, e_n: X = \mathcal L(e_1, \ldots, e_n)</tex>.
}}
{{Теорема
|author=Рисс
|statement=
В конечномерных пространствах любые две нормы эквивалентны.
}}
= 8 Замкнутость конечномерного линейного подмножества НП. =
= 9 Лемма Рисса о почти перпендикуляре, пример ее применения. =
