277
правок
Изменения
→Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V </tex> — гладкое потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>. Тогда <tex> \forall x \in O \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i}\ (*), \ i, j \in [1 : m] </tex>|proof=<tex> f </tex> — потенциал, обе части <tex> (*) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} </tex> (— непр., т.к. <tex> V </tex> — гладкое)
}}
|statement=
Пусть <tex> O \subset \mathbb{R}^m </tex> — выпуклая, <tex> V </tex> — векторное поле в <tex> O </tex>, гладкое и <tex> \forall x \forall i, j \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} </tex>. Тогда <tex> V </tex> — потенциальное.
|proof=
фиксируем <tex> A \in O; \ \gamma [0, 1] \to O; \ t \mapsto A + (t - A); \ \gamma' = x - A </tex>
<tex> f(x) := \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = </tex><tex> \int_0^1 V_1(A + t(x - A))\cdot(x_1 - A_1) + ... + V_m(A + t(x - A)) \cdot (x_m - A_m)dt </tex>
<tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} = \int_0^1 V_i(A + t(x - A)) + \sum_{i = 1}^{m} \overbrace{\frac{\partial V_j}{\partial x_i}}^{\frac{\partial V_i}{\partial x_j}} (A + t(x - A))t(x_j - A_j)dt = </tex>
<tex> = \int_0^1 (t V_i (A + t(x - A)))'_t dt = t V_i (A + t(x - a))|_{t = 0}^{t = 1} = V_i (t) </tex>
}}
