277
правок
Изменения
→Формула Стирлинга для Гамма-функции
|statement=
<tex> \Gamma (x + 1) \underset{x \to + \infty}{\sim} x^x e^{-x} \sqrt{2 \pi x} </tex>
|proof=
<tex> \Gamma(x + 1) = \int_0^{+\infty} t^x e^{-t} dt =_{t = ux; \ dt = xdu} \ </tex><tex>\ x^{x + 1} \int_0^{+\infty} u^x e^{-ux} du = x^{x + 1} \int_0^{+\infty} e^{-x(u - \ln u)} du \sim </tex>
// <tex> \varphi(u) = -(n \ln u) </tex>
// <tex> \varphi' = -(1 - \frac{1}{n}); n = 1; \varphi'(u) = 0 - (\cdot) max </tex>
// <tex> \varphi'' = -\frac{1}{n^2}; \ \varphi''(1) = -1 </tex>
<tex> \sim x^{x + 1} e^{-x} \sqrt{\frac{2\pi}{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}} \cdot 1 </tex>
}}
