Изменения
→22 Коразмерность ядра линейного функционала.
= 22 Коразмерность ядра линейного функционала. =
{{Определение
|id=linfuncdef
|definition=
Пусть <tex>X</tex> — линейное множество. Отображение <tex> f\colon X \to \mathbb{R} </tex> {{---}} '''линейный функционал''', если
<tex>\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R} \ \forall x, y \in X : f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(x)</tex>.
Обозначим <tex>X^*</tex> — совокупность линейных функционалов, определенных на множестве <tex>X</tex>.
<tex> \mathrm{Ker}\, f = \{x \mid f(x) = 0 \} </tex> — '''ядро функционала'''.
}}
{{Определение
|id=factorsetdef
|definition=
Пусть <tex>X</tex> — линейное множество, <tex>Y</tex> линейное подмножество <tex>X</tex>.
Введем отношение эквивалентности на <tex>X</tex>:
<tex> x_1 \sim x_2 \stackrel{\mathrm{def}}{\iff} x_1 - x_2 \in Y </tex>
<tex> [x] = \{ y \in X \mid y \sim x \} </tex> — '''классы смежности''' по <tex>Y</tex>.
<tex> X /_Y </tex> — совокупность всех классов смежности — '''фактор-множество''' по <tex>Y</tex>.
}}
{{Определение
|id=codimdef
|definition=
<tex>\mathrm{Codim}\, Y \stackrel{\mathrm{def}}{=} \dim X /_Y </tex> — '''коразмерность''' <tex>Y</tex>.
<tex> Y </tex> — '''гиперплоскость''' в <tex>X</tex>, если <tex>\mathrm{Codim}\, Y = 1</tex>.
}}
{{Утверждение
|about=Коразмерность ядра функционала
|statement=
<tex>\mathrm{Codim}\, \mathrm{Ker}\, f = 1 </tex>
}}
= 23 Непрерывный линейный функционал и его норма. =
= 24 Связь между непрерывностью линейного функционала и замкнутостью его ядра. =
