1302
правки
Изменения
м
* непрерывность: вместо непрерывности можно показать ограниченность, а по только что доказанному, норма сохраняется, и функционал останется ограниченным
СсылкиСсылочки:
\to \implies
Заметим: <tex> \forall \alpha \in \mathbb{R} ~ 0 \cdot \alpha = 0</tex>. По линейности <tex>f(\alpha \cdot 0) = \alpha f(0)</tex>, следовательно, <tex>f(0) = 0</tex>.
<tex> \mathrm{Ker}\, f </tex> — линейное подмножество <tex>X</tex>: Пусть <tex>x, y \in \mathrm{Ker} \, f</tex>, тогда <tex>f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) = 0 \Rightarrow implies \alpha x + \beta y \in \mathrm{Ker} \, f</tex>.
== Коразмерность ==
* <tex>\widetilde f (\alpha x) = \lim f(\alpha y_n) = \lim \alpha f(y_n) = \alpha \lim f(y_n) = \alpha \widetilde f(x)</tex>
* <tex>\widetilde f (x + x') = \lim f(y_n + y'_n) = \lim f(y_n) + f(y'_n)</tex><tex> = \lim f(y_n) + \lim f(y'_n) = \widetilde f(x) + \widetilde f(x')</tex>
* непрерывность: вместо непрерывности можно показать ограниченность. Пусть в какой-то точке <tex>\widetilde f(x)</tex> не ограничен, но это значило бы, что для <tex>y_n \to x</tex>: <tex>\forall n \exists m: f(y_m) > n</tex>, что означало бы, что функционал <tex>f</tex> не ограничен на <tex>Y</tex>, то есть противоречие.
* сужение: покажем, что <tex>\forall y \in Y: \widetilde f(y) = f(y)</tex>, как уже показали, можем выбрать любую последовательность, сходящуюся к <tex>y</tex>, тогда возьмем последовательность, состоящую только из <tex>y</tex>, очевидно, она сходится к <tex>y</tex> и значения функционалов совпадают
* сохранение нормы: по только что доказанному свойству сужения, на <tex>\| x \| \le 1</tex> функционал <tex>\widetilde f </tex> принимает все те значения, что и <tex>f</tex>, поэтому достаточно показать, что не найдется <tex>x: \| x \| \le 1, x \in X, x \notin Y: |\widetilde f(x)| > \|f\|</tex>. Пусть такой <tex>x</tex> нашелся со значением функционала <tex>\widetilde f(x) > 0</tex>, значит, он является пределом какой-то последовательности <tex>y_n</tex> в <tex>Y</tex>. Тогда по определению продолжения функционала и определению предела <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists N \forall n \ge N: |f(y_n) - \widetilde f(x)| < \varepsilon</tex>, возьмем <tex>\varepsilon < \widetilde f(x) - \|f\|</tex>, тогда найдется такой номер <tex>N</tex>, что <tex>y_N \in Y, f(y_N) > \|f\|</tex>, то есть получили противоречие.
}}
<tex>f</tex> — ограничен <tex>\iff \mathrm{Ker}\, f</tex> — замкнуто в <tex>X</tex>.
|proof=
*<tex>\Rightarrowimplies</tex>
<tex>f</tex> — ограничен, значит непрерывен. По непрерывности функционала:<br>
<tex>x_n \rightarrow to x \implies f(x_n) \rightarrow to f , \, x_n \in \mathrm{Ker} \, f</tex>, \, ~ <tex>f(x_n) = 0, f(x) = 0 \implies x \in \mathrm{Ker} \, f</tex>
то есть оно содержит пределы своих подполедовательностей <tex>\implies</tex> ядро замкнуто.
* <tex>\Leftarrow </tex>
<tex>\mathrm{Ker}</tex> {{-- -}} замкнуто. <tex>Cl \mathrm{Ker} \, f = \mathrm{Ker} \, f</tex>. Если <tex>x_n \in X ,\, x_n \rightarrow to x \stackrel{?}{\Rightarrowimplies} f(x_n) \rightarrow to f(x)</tex>.<br><tex>Codim \mathrm{Ker} \, f = 1</tex>, значит мы сможем представить <tex>x_n</tex> и <tex>x</tex> следуюшим образом:<br><tex>x_n = y_n + t_ne, \,y_n \in \mathrm{Ker} \, f, \, e \in X</tex>
<tex>x = y + te </tex>.
Проверим <tex> x_n \rightarrow to x \stackrel{?}{\Rightarrowimplies} t_n \rightarrow to t </tex>.
Достаточно доказать, что <tex>\{ t_{n_k} \} \rightarrow to t </tex>.
Пусть <tex> t_{n_k} \rightarrow to t' \implies t_{n_k} e \rightarrow to t'e</tex>
<tex> x_{n_k} (\rightarrow to x) = y_{n_k} + t_{n_k} e (\rightarrow to t'e)</tex> (по условию <tex>x_n \rightarrow to x</tex>)
Значит <tex>y_{n_k} \rightarrow to y'</tex> (и <tex> x = y' + t'e</tex>)
В силу замкнутости ядра т.к. <tex>y_{n_k} \in \mathrm{Ker} \, f \implies y' \in \mathrm{Ker} \, f </tex>
Значит мы записали <tex> x = y' + t'e, \, y' \in \mathrm{Ker} \, f</tex>. Отсюда, т.к. представление единственно и <tex>t'=t</tex>, получаем, что в выражении <tex>x_n = y_n + t_ne, \, x_n \rightarrow to x,\, y_n \rightarrow to y,\, t_n \rightarrow to t </tex>
<tex>f(x_n) = f(y_n) + t_nf(e) = t_nf(e) \rightarrow to tf(e) = f(y + te) = f(x)</tex>
}}
{{TODO | t = осталось еще пять страниц конспекта }}
{{Теорема
}}
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Quotient_space Quotient space]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Quotient_space_(linear_algebra) Quotient space (linear algebra)]
/tex>
то есть оно содержит пределы своих подполедовательностей
