1679
правок
Изменения
Нет описания правки
Очевидно, что <tex> X = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} X_n </tex>, <tex> X </tex> {{---}} B-пространство (а значит, и полное метрическое), значит, по [[Метрические пространства#thbaire|теореме Бэра о категориях]], <tex> X </tex> {{---}} 2 категории, то есть какое-то множество <tex>X_{n_0}</tex> не является ''[[Метрические пространства#defdense|нигде не плотным]]''.
Вспомним определение нигде не плотности: <tex>A</tex> нигде не плотно, если <tex>\forall V \exists U \subset V: A \cap U = \emptyset</tex>. Раз <tex>X_{n_0}</tex> '''не''' является нигде не плотным, то <tex>\exists V \forall U \subset V: X_{n_0} \cap U \ne \emptyset</tex>, то есть <tex>X_{n_0}</tex> всюду плотно в каком-то открытом шаре. Теперь возьмем замкнутый шар <tex>\overline V_r(a)</tex>, лежащий в этом открытом шаре, причем такой, что <tex>a \in X_{n_0}</tex>.
Рассмотрим кольцо: <tex> \{z \mid \frac r2 \le \| z - a \| \le r \} </tex>. Обозначим <tex> y = z - a </tex>, тогда кольцо имеет следующий вид: <tex> \{\frac r2 \le \| y \| \le r \} </tex> {{---}} кольцо с центром в <tex> 0 </tex>.
