Изменения
→Лемма Бернсайда
|proof=
Рассмотрим сумму в числителе дроби справа:
<tex>\sum\limits_{k \in G}I(k)</tex> {{---}} это ни что ничто иное как количество "инвариантных пар". Очевидно, что в формуле мы имеем право изменить порядок суммирования - сделать внешнюю сумму по элементам множества <tex>f</tex>, а внутри нее поставить величину <tex>J(f)</tex> {{---}} количество перестановок, относительно которых объект <tex>f</tex> инвариантен:
Для доказательства этой формулы составим таблицу, столбцы которой будут подписаны всеми значениями <tex>f_i</tex>, строки {{---}} всеми перестановками <tex>k_j</tex>, а в клетках таблицы будут стоять их произведения . Тогда, если мы будем рассматривать столбцы этой таблицы как множества, то некоторые из них могут совпасть, и это будет как означать, что соответствующие этим столбцам <tex>f</tex> также эквивалентны. Таким образом, количество различных как множество столбцов равно количеству различных комбинаторных объектов.
Таким образом, если мы возьмём произвольным образом от каждого класса эквивалентности по одному столбцу и просуммируем количество элементов в них, то получим, с одной стороны, <tex>C|G|</tex> (это получается, просто умножив количество столбцов на их размер), а с другой стороны {{---}} сумму величин <tex>J(f)</tex> по всем <tex>f</tex>(это следует из всех предыдущих рассуждений):
<tex> C =</tex> <tex dpi = "180"> \frac{1} {|G|}</tex><tex>\sum\limits_{f} J(f)</tex>
}}
