1302
правки
Изменения
м
Нет описания правки
|id=defms
|definition=
Для некоторого множества <tex>X</tex>, отображение <tex> \rho : X \times X \rightarrow to \mathbb{R^+} </tex> {{---}} называется '''метрикой''' на <tex>X</tex>, если выполняются аксиомы
# <tex> \rho (x, y) \ge 0 ;\ \rho (x, y) = 0 \iff x = y </tex>
# <tex> \rho (x, y) = \rho (y, x) </tex>
принцип вложенных шаров
|statement=
Пусть <tex>(X, \rho)</tex> — полное. <tex>\overline V_n</tex> — замкнутые шары. <tex>\overline V_{n + 1} \subset \overline V_n</tex>, <tex>r_n \to 0</tex>. Тогда <tex>\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \overline V_n \ne \emptysetvarnothing</tex>, и состоит из одной точки.
}}
|definition=
Функция <tex>\| \cdot \|: L \to \mathbb{R}</tex> называется нормой в пространстве <tex>L</tex>, если для нее выполняется:
# <tex>\forall x \in L: \| x \| \ge 0</tex>, <tex>\| x \| = 0 \Leftrightarrow iff x = \mathrm{0}</tex>
# <tex>\forall \alpha \in \mathbb{R}\ \forall x \in L: \| \alpha x \| = |\alpha |\| x \|</tex>
# <tex>\forall x, y \in L: \| x + y \| \le \| x \| + \| y \|</tex>
В нормированных пространствах определение предела записывается аналогично пределу вещественной последовательности, отличаясь лишь заменой знака модуля на знак нормы.
Например, если <tex>E \subset X</tex>, <tex>a</tex> — предельная точка множества <tex>E</tex>, <tex>f \colon E \to Y</tex> (где <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> — нормированные пространства), то <tex>A</tex> называется пределом функции <tex>f</tex> при <tex>x \rightarrow to a</tex> и обозначается <tex>\lim\limits_{x \rightarrow to a} f(x)</tex>, если для любого положительного <tex>\varepsilon</tex> найдётся <tex>\delta > 0</tex>, для которого выполняется следствие <tex>0 < \|x - a\| < \delta \Rightarrow implies \|f(x) - A\| < \varepsilon</tex>.
Специфика нормированных пространств — структура линейного пространства на рассматриваемом множестве. То есть, точки пространства можно складывать и умножать на числа, и эти операции будут непрерывными по норме пространства.
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>x_n</tex>, <tex>y_n</tex> — последовательности точек нормированного пространства <tex>(X, \|\cdot\|)</tex>, а <tex>\alpha_n</tex> — вещественная последовательность. Известно, что <tex>x_n \rightarrow to x</tex>, <tex>y_n \rightarrow to y</tex>, <tex>\alpha_n \rightarrow to \alpha</tex>.
Тогда:
# <tex>x_n + y_n \rightarrow to x + y</tex># <tex>\alpha_n x_n \rightarrow to \alpha x</tex># <tex>\|x_n\| \rightarrow to \|x\|</tex>
}}
}}
Это определение равносильно тому, что сходимость последовательностей в них равносильна: <tex>x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \Leftrightarrow iff x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x</tex>.
{{Определение
|about=о почти перпендикуляре
|statement=
Пусть <tex>X</tex> — НП, а <tex>Y</tex> {{- --}} собственное (то есть не совпадающее с <tex>X</tex>) подпространство <tex>X</tex>, тогда <tex>\forall \varepsilon \in (0, 1) \; \exists z_{\varepsilon} \in X : \|z_{\varepsilon}\| = 1,\; \rho(z_{\varepsilon}, Y) \geq 1 - \varepsilon</tex> (где <tex>\rho(z, Y) = \inf\limits_{y \in Y} \|z-y\|</tex>)
}}
|about=некомпактность шара в бесконечномерном пространстве
|statement=
Если <tex>X</tex> {{- --}} бесконечномерное НП, то единичный шар <tex>S_1 = \{ x \in X \mid \|x \| = 1\}</tex> в нем не компактен.
|proof=
Возьмем <tex>x \in S_1</tex>, <tex>Y_1 = \mathcal{L}(x_1)</tex> — собственное подпространство <tex>X</tex>, применим лемму Рисса, возьмем <tex>\varepsilon = {1 \over 2}</tex>, существует <tex>x_2: \| x_2 \| = 1, \| x_2 - x_1 \| \ge {1 \over 2}</tex>, заметим, что <tex>x_2</tex> окажется в <tex>S_1</tex>.
неравенство Бесселя
|statement=
<tex> \sum \limits_{k=1}^{\infty} (x, e_k)^2 \le \|x\|^2</tex>, где <tex>e_1 \dots e_n \dots \in H </tex> {{- --}} ортонормированная система точек
}}
|author=Рисс-Фишер
|statement=
Пусть <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}</tex> {{- --}} ортонормированная система в гильбертовом пространстве <tex>H</tex>, <tex>\sum\limits_{i=1}^{\infty} \alpha_i^2 \leq +\infty</tex>. Тогда <tex>\exists ! x \in H : \alpha_i = \langle x, e_i \rangle</tex> и выполняется '''равенство Парсеваля''': <tex>\sum\limits_{i=1}^{\infty} \alpha_i^2 = \|x\|^2</tex>
}}
|definition=
'''Топологическое векторное пространство''' — линейное пространство, наделенной такой топологией, что операции сложения векторов и умножения на скаляр в ней непрерывны в этой топологии, то есть:
* непрерывность умножения на скаляр: $\alpha x \to \alpha_0 x_0$, если $\alpha \to \alpha_0$, $x \to x_0$. Означает, что для любой окрестности $U(\alpha_0 x_0)$ существует $ \varepsilon > 0$ и существует $U(x_0): |\alpha - \alpha_0| < \varepsilon, x \in U(x_0) \Rightarrow implies \alpha x \in U(\alpha_0 x_0)$* непрерывность сложения векторов: $x + y \to x_0 + y_0$, если $x \to x_0$, $y \to y_0$. Означает, что для любой окрестности $U(x_0 + y_0)$ существуют окрестности $U(x_0), U(y_0): \forall x \in U(x_0 \forall y \in U(y_0) \Rightarrow implies x + y \in U(x_0 + y_0)$.
}}
</wikitex>
Хан, Банах
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} [[Метрические_пространства#defdense|сепарабельное]] нормированное пространство, <tex>Y</tex> {{---}} линейное подмножество <tex>X</tex>, <tex>f: Y \rightarrow to \mathbb R</tex> {{---}} линейный ограниченный функционал.Тогда существует линейный ограниченный функционал <tex>g: X \rightarrow to \mathbb R</tex> такой, что <tex>g|_Y = f</tex>, <tex>\|g\| = \|f\|</tex>.
}}
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{- --}} нормированное пространство. Тогда <tex>\forall x \in X \exists f: X \rightarrow to R:\ f(x) = \|x\|, \|f\| = 1</tex>.
}}
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{- --}} нормированное пространство, <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} линейно независимый набор в <tex>X</tex>.
Тогда в <tex>X</tex> существует биортогональная система функционалов <tex>f_1, f_2, \ldots f_n, f_i(e_j) = \delta_{ij}</tex>
}}
{{Определение
|definition=
Оператор <tex>A</tex> '''непрерывен''' в точке <tex>x_0</tex>, если <tex>\lim\limits_{x \rightarrow to x_0} Ax = Ax_0</tex>.
}}
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>Y</tex> {{--- }} линейное пространство, <tex>Cl Y = X</tex>, <tex>A: Y \rightarrow to Z</tex> {{--- }} линейный ограниченный оператор, <tex>Z</tex> {{---}} банахово.Тогда <tex>\exists B: X \rightarrow to Z</tex>:
# <tex>B|_Y = A</tex>
# <tex>\|B\| = \|A\|</tex>
|about=непустота спектра ограниченного оператора
|statement=
<tex>\|A\| < +\infty \implies \sigma(A) \ne \emptysetvarnothing</tex>
}}
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]
