54
правки
Изменения
→Теорема о локальной обратимости
Нужно проверить лишь: <tex> \exists U(x_0) : F|_U </tex> — обратима
[так. как можно считать что <tex> \det F'(x) \ne 0 </tex> на <tex> U(x_0) \Rightarrow F(U(x_0)) </tex> — откр. открыто и <tex> F^{-1} </tex> — откр. определено на мн-ве открытом множестве и дифф.дифференцируемо по предыдущим теоремам]
<tex> |F(x) - F(y)| \ge^{?} |x - y| </tex>// Это какая-то хрень, к тому же она в конце не доказана. Надо проверить, что <tex>\forall{x \neq y} |F(x) - F(y)| > 0</tex>, тогда отображение будет биекцией.
<tex> \exists c \ \forall h \in \mathbb{R}^m : |F'(x_0)h| \ge c|h|; \ U := B(x_0, r) < 0 </tex>
<tex> |F(y) - F(x)| \ge |F'(x_0)h| - |F(x + h) - F(x) - F'(x)h| - |(F'(x) - F'(x_0))h| \ge </tex>
<tex> \ge c|h| - sup_{t \in [x, x + h]} \| F'(t) - F'(x) \| \cdot |h| - \| F'(x) - F'(x_0) \| \cdot |h| \ge c|h| - \frac{c}{4}|h| - \frac{c}{4}|h| = \frac{c}{2}|h| > 0</tex>
}}
* Замечание
<tex> \det F' \ne 0 </tex> — нужно для диффдифференцируемости.
<tex> F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}; x \mapsto x^3; F^{-1} </tex> — не дифф. дифференцируемо в нуле
=== Теорема о неявном отображении ===
