54
правки
Изменения
→Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути
1) Линейность по векторному полю: <tex> I(\alpha V_1 + \beta V_2, \gamma) = \alpha I(V_1, \gamma) + \beta I(V_2, \gamma) </tex>.
<tex> \int_{a}^{b} \langle (\alpha V_1 + \beta V_2), \gamma{' } \rangle dt </tex> — по линейному скалярному произведению
2) Аддитивность при дроблении пути:
Тогда <tex> I(V, \gamma) = I(V, \tilde{\gamma}) </tex>.
<tex> I(V, \gamma) = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}(t) \rangle dt =_{t = \varphi(s)} </tex><tex> \int_a^b \langle V (\gamma(\varphi (s))), \gamma{'}(\varphi (s)) \varphi'(s) \rangle ds = \int_p^q \langle V(\tilde{\gamma}(s)), \tilde{\gamma}'(s) \rangle ds </tex>
4) Пусть <tex> \gamma_1: [a; b] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_2: [c; d] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_1(b) = \gamma_2(c), \ \gamma = \gamma_2 \gamma_1 </tex> — произведение путей:
то <tex> I(V, \gamma_2 \gamma_1) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>.
<tex> \int_a^{b + d - c} \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}t \rangle dt = \int_a^b + \int_b^{b + d - c} </tex> \\ заменить параметр <tex> s = t - b + c; s \in [c, d] </tex>
<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ \gamma_- </tex> — противоположный путь (в обратную сторону)
<tex> I(V, \gamma_-) = -I(V, \gamma) </tex>
<tex> \int_a^b \langle V(\gamma(b - a - t)), \gamma_-(t) \rangle dt = \int \langle V (\gamma(s)), \gamma{'}(s) \rangle ds </tex>
5) Оценка интеграла:
<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; L_{\gamma} = \gamma [a, b] \subset \mathbb{R}^m </tex>
|proof=
<tex> | \int_a^b \sum V_i (\gamma(t)) \cdot \gamma{'}_i(t) dt | \le \int_a^b |...| dt \le </tex> по КБШ <tex> \int_a^b \sqrt{\sum V_i^2(\gamma(t))} \sqrt{\sum \gamma_i^{'2}(t)} dt = \le int_a^b |V(\gamma(t))| \cdot |\gamma{'}(t)| \le max_{x \in L_{\gamma}} (V(x)) \cdot \int_a^b |\gamma{'}(t) dt| </tex>
}}
