Изменения
→Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда
Пусть есть ряд <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex>, <tex> x \in X </tex>
1) частичные суммы ряда <tex>a_n(x)</tex> равномерно ограничены, т.е. <tex> \exists c_a \ \forall x | \sum_{k = 1}^{n} a_k(x) | \leqslant c_a </tex>
2) <tex> b_n(x) </tex> монотонна по <tex> n </tex> и равномерно сходится к <tex> 0 </tex>
Тогда <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> X </tex>.
|proof=
Применяя преобразование Абеля
<tex>\sum_{k=n+1}^{n+p}b_k(x)a_k(x) = b_{n+p}(x)\sum_{k = 1}^{n + p}a_k(x)-\sum_{k=n+1}^{n+p-1}(b_{k+1}(x)-b_k(x))\sum_{j=1}^{k}a_j(x)</tex>
В силу равномерной ограниченности частичных сумм ряда <tex>\sum a_k(x)</tex> при некотором <tex>M</tex>
<tex>|\sum_{k = 1}^{n}a_k(x)| \le M \forall n \in N, \forall x \in X</tex>
Тогда, используя монотонность <tex>b_k(x)</tex> (по <tex>k</tex>), имеем
<tex>|\sum_{k=n+1}^{n+p}b_k(x)a_k(x)| \le M|b_{n+p}(x)|+M \sum_{k = n + 1}^{n+p-1}|b_{k+1}(x)-b_k(x)|= 2M|b_{n+p}(x)|+M|b_{n+1}(x)|</tex>
Из этого неравенства в силу <tex>b_k \rightrightarrows 0</tex> получаем, что
<tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists n(\varepsilon ) :
|\sum_{k=n+1}^{n+p}b_k(x)a_k(x)| < \varepsilon \ \forall n \ge n(\varepsilon), \forall p \in N, \forall x \in X</tex>
Применяя критерий Коши, получаем, что ряд сходится равномерно на <tex>X</tex>.
}}
