Изменения
Проверил док-во про взаимоограниченность<=>эквивалетность норм (с небольшим исправлением). Убрал плашку.
Нормы <tex>\|\cdot \|_1</tex>, <tex>\|\cdot \|_2</tex> эквивалентны <tex> \iff </tex> существуют константы <tex>m, M > 0</tex> такие, что <tex>\forall x: m\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le M \|x\|_2</tex>.
|proof=
Несложно показать, что из взаимной ограниченности норм следует равносходимость:
Теперь убедимся, что без взаимной ограниченности равносходимости также не будет:
Так как ее нет, то не существует, например, необходимой константы <tex> M </tex>. Значит, существует последовательность <tex> \forall x_n: \|x\|_1 \ge > n \|x\|_2 </tex>.
Рассмотрим тогда последовательность <tex> \frac {x_n}{\|x_n\|_1} </tex>.
В норме <tex> \|\cdot\|_2 </tex> она будет сходиться к нулю: <tex> \| \frac {x_n}{\|x_n\|_1} \|_2 \le < \|\frac {x_n}{n\|x_n\|_2}\| _2 = \frac1n \frac{\|x_n\|_2}{\|x_n\|_2} = \frac1n \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>.
Но в <tex> \|\cdot\|_1 </tex> каждый элемент имеет норму <tex> \| \frac {x_n}{\|x_n\|_1} \|_1 = \frac {\|x_n\|_1}{\|x_n\|_1} = 1 \ne \|0\|_1</tex>, то есть, последовательность <tex> x_n </tex> к нулю в этой норме не сходится, что и требовалось доказать.
