1679
правок
Изменения
запилил нормальное доказательство
*<tex>\implies</tex>
<tex>f</tex> — ограничен, значит непрерывен. По непрерывности функционала:<br>
<tex>x_n \to x \implies f(x_n) \to f(x) , \, x_n \in \mathrm{Ker}\, f</tex> ~ , все <tex>f(x_n) = 0</tex>, значит, и <tex>f(x) = 0 \implies x \in \mathrm{Ker}\, f</tex>
то есть оно содержит пределы своих подполедовательностей <tex>\implies</tex> ядро замкнуто.
* <tex>\Leftarrow </tex>
{{TODO|t=тут всё плохо и неправильно}}<tex>\mathrm{Ker}</tex> {{--была какая-}} замкнуто. <tex>\mathrm{Cl}\, \mathrm{Ker}\, f = \mathrm{Ker}\, f</tex>. Если <tex>x_n \in X то непонятная хрень,\, x_n \to x \stackrel{?}{\implies} f(x_n) \to f(x)</tex>.<br><tex>\mathrm{Codim}\, \mathrm{Ker}\, f = 1</tex>, значит мы сможем представить <tex>x_n</tex> и <tex>x</tex> следуюшим образомзапилил хорошее доказательство с [http:<br><tex>x_n = y_n + t_ne, \,y_n \in \mathrm{Ker}\, f, \, e \in X</tex><tex>x = y + te </tex>. Проверим <tex> x_n \to x \stackrel{?}{\implies} t_n \to t </tex>en. Достаточно доказать, что <tex>\{ t_{n_k} \} \to t </tex>wikibooks. Пусть <tex> t_{n_k} \to t' \implies t_{n_k} e \to t'e</tex> <tex> x_{n_k} (\to x) = y_{n_k} + t_{n_k} e (\to t'e)<org/tex> (по условию <tex>x_n \to x<wiki/tex>) Значит <tex>y_{n_k} \to y'<Functional_Analysis/tex> (и <tex> x = y' + t'e</tex>) В силу замкнутости ядра т.к. <tex>y_{n_k} \in \mathrm{KerBanach_spaces английской википедии]}\, f \implies y' \in \mathrm{Ker}\, f </tex> Значит мы записали <tex> x = y' + t'e, \, y' \in \mathrm{Ker}\, f</tex>. Отсюда, т.к. представление единственно и <tex>t'=t</tex>, получаем, что в выражении <tex>x_n = y_n + t_ne, \, x_n \to x,\, y_n \to y,\, t_n \to t </tex> <tex>f(x_n) = f(y_n) + t_nf(e) = t_nf(e) \to tf(e) = f(y + te) = f(x)</tex>
Покажем, что если <tex>f</tex> не ограничен, <tex>\mathrm{Ker}\, f</tex> — не замкнуто в <tex>X</tex>. Рассмотрим определение неограниченности: <tex>\forall n \exists u_n: \|u_n\| = 1, f(u_n) \ge n </tex> (заметим, что в классическом определении <tex>|f(u_n)| \ge n</tex>, однако по линейности пространства если оказалось, что <tex>f(u_n) \le -n</tex>, возьмем <tex>-u_n: f(-u_n) \ge n</tex>), теперь определим последовательность <tex>v_n = \frac{u_n}{f(u_n)}</tex>, очевидно, <tex>\|v_n\| \le \frac{1}{n}</tex>, то есть <tex>v_n \to 0</tex>. Теперь возьмем <tex> a \notin \mathrm{Ker}\, f</tex> и определим последовательность <tex>z_n = a - f(a) v_n</tex>. Каждый элемент <tex>z_n</tex> содержится в ядре, так как <tex>f(z_n) = f(a) - f(a) f(v_n) = f(a) (1 - f(v_n)) = 0</tex> (воспользуемся тем, что <tex>f(v_n) = \frac{f(v_n)}{f(v_n)} = 1</tex>). Однако последовательность <tex>z_n</tex> стремится к <tex>a</tex>, так как <tex>v_n \to 0</tex>, то есть стремится к элементу не из ядра. Таким образом, предъявили последовательность элементов в ядре, сходящуюся к элементу не из ядра и ядро не замкнуто.
}}
