1679
правок
Изменения
Нет описания правки
Проверим, что <tex>A</tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, <tex>A = \lim\limits_{n \to \infty} A_n</tex>. Рассмотрим <tex>\|x\| \le 1</tex>.
Так как <tex>\{A_n\}</tex> сходится в себе, то <tex>\forall \varepsilon \exists N: \forall n, m \ge N : \| A_n - A_m \| < \varepsilon</tex>.
По определению <tex>A</tex>, <tex>\forall x \forall \varepsilon \exists N_1(x): \forall n \ge N_1 : \| A_n x - A x \| < \varepsilon</tex>.
Значит, для всех <tex>x</tex> можно выбрать <tex>n_1 (x) \ge N, N_1</tex>, такое, что <tex>\forall m \ge N: \|Ax - A_m x\| \le \|Ax - A_{n_1} x\| + \|(A_{n_1} - A_m) x\| \le 2 \varepsilon</tex>.
Таким образом, <tex>\|A - A_m\| = \sup\limits_{\|x\| \le 1} \|Ax - A_m x\| \le 2 \varepsilon \to 0</tex>.
