Изменения
Нет описания правки
Рассмотрим <tex> X/_Z </tex> {{---}} фактор-подпространство. <tex> i : X \to X/_Z, i(x) = [x]</tex>, где <tex> [x] </tex> {{---}} класс смежности <tex> x </tex>, <tex>i</tex> называется '''каноническим вложением''' <tex>X</tex> в фактор-пространство. Оператор <tex> i </tex> {{---}} линейный и ограниченный, переводит открытое множество в <tex> X </tex> в открытое множество в <tex> X/_Z </tex>, то есть окрытый. {{TODO|t=доказать это, упражнение. Вообще интересно, как вводить норму в фактор-пространстве? Вот [http://en.wikipedia.org/wiki/Quotient_space_(linear_algebra) тут] вводят как <tex>\|[x]\|_{X /_M} = \inf\limits_{m \in M} \| x - m \|_X</tex>, выглядит логично, но Додонов все равно вроде об этом не говорил.}}
{{TODO|t=например можно попробовать так:}}
1)<tex>i(x + y) = [x + y] = [x] + [y] = i(x) + i(y)</tex> - по свойствам фактор-множества
2)<tex>i(\alpha x) = [\alpha x] = \alpha [x] = \alpha i </tex> - по свойствам фактор-множства показали линейность.
3)Определим норму, как <tex> ||[x]||_{X|_Z} = \inf \limits_{x \in Z} \| x- z \|_{X}</tex>. Ясно, что она удовлетворяет аксиомам нормы.
<tex>\|i\| = \sup \limits_{\|x\| = 1} \|ix\| = \sup \limits_{\|x\| = 1} \|[x]\| = \sup \limits_{\|x\| = 1} \inf \limits_{x \in Z} \| x- z \|_{X} \le \sup \limits_{\|x\| = 1} \inf \limits_{x \in Z} (\| x \|_{X} + \| z \|_{X}) \le 1 + \inf \limits_{x \in Z} \| z \|_{X} < + \infty </tex> - показали ограниченность
Рассмотрим <tex> U_A : X/_Z \to Y</tex>{{---}} оператор, ассоциированный с <tex> A </tex>. То, что <tex>U_A([x]) = y</tex>, означает, что для некоторого <tex>x \in [x], k \in \mathrm{Ker} A: A(x + k) = y</tex>, заметим, что при этом <tex> A = U_A \cdot i </tex>.
