Изменения

<tex>A - \lambda I = (A - \lambda_0 I) - (\lambda - \lambda_0)I = (A - \lambda_0 I) - (\lambda - \lambda_0)(A - \lambda_0 I)R_{\lambda_0} </tex><tex> = (A - \lambda_0 I)(I - (\lambda - \lambda_0)R_{\lambda_0})</tex>— если взять достаточно малое <tex>\lambda - \lambda_0</tex>, можно так обратить.

Если <tex>L(X)</tex> (пространство линейных ограниченных операторов <tex>A: X \rightarrow X</tex>) банахово, то в нем можно рассматривать операторно степенные ряды <tex>\sum\limits_{n=0}^{\infty} A_n\lambda^n</tex>, их свойства копируют свойства обычных степенных рядов. Воспользуемся аналитичностью резольвенты: если <tex>\sigma(A) = \emptyset</tex>, то <tex> \rho(A) = \mathbb{C}</tex>, то есть в пределах любого круга и в бесконечно удаленой точке резольвента ограничена, тогда по [http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%27s_theorem_(complex_analysis) теореме Лиувилля] (если на всей комплексной плоскости функция <tex>f(z)</tex> равномерно ограничена, она тождественно равна постоянной) ({{TODO|t=ее надо уметь доказывать? В формулировке в википедии я не понимаю, для чего аналитичность в бесконечности. Вот [http://en.wikipedia.org/wiki/Entire_function тут] написано так: "As a consequence of Liouville's theorem, any function that is entire on the whole Riemann sphere (complex plane and the point at infinity) is constant.". А также в теореме Лиувилля требуется ограниченность всех точек в совокупности, непонятно почему В общемэто выполняется. Еще она формулируется для фунции в C, разобраться надо.а не в операторы, что меня смущает}}), <tex>R_\lambda</tex> — константная функция, но тогда бы все <tex>A - \lambda I</tex> были бы одинаковы, чего, очевидно, быть не может, то есть получили противоречие и спектр непуст.