689
правок
Изменения
м
Нет описания правки
Пусть $X$ — счетное-нормированное пространство по монотонной системе полунорм $p$. Оно нормируется тогда и только тогда, когда в системе $p$ конечное число существенных полунорм.
|proof=
В прямую сторону: пусть $X$ нормируемо нормой $\| \cdot \|$. Тогда по определнию определению нормируемости счетно-нормированного пространства, система полунорм из $\| \|$ эквивалентна системе полунорм $p$. Тогда $\| \|$ мажорируется некоторой полунормой $p_N$ по предыдущей теореме, то есть существует постоянная $C$ такая, что $\forall x \in X: \|x\| \le C p_N(x)$. Покажем от противного, что в этой системе существенных полунорм не может быть больше $N$: пусть такая полунорма с номером $m > N$ есть, тогда она должна мажорироваться полунормой $\| \|$, то есть существует постоянная $D$ такая, что $\forall x \in X: p_m(x) \le D \|x\|$. Но тогда, комбинируя два неравенства, получим $\forall x \in X: p_m(x) \le C D p_N(x)$, то есть полунорма номером $m$ мажорируется полунормой с номером $N < m$, то есть она не может быть существенной.
В обратную сторону: пусть в системе $p$ конечное число существенных полунорм. Возьмем из существенных полунорм полунорму с наибольшим номером, пусть это $p_N$. Пусть $p_N(x) = 0$, тогда все полунормы с меньшими $N$ номерами также равны нулю по монотонности. Полунормы с большими номерами мажорируются $p_N$, так как $p_N$ по своему выбору последняя существенная полунорма, и тогда если $p_N(x) = 0$, все полунормы с большими номерами также равны нулю. Таким образом, полунорму $p_N$ можно взять как искомую норму.
