153
правки
Изменения
→Фибоначчиева система счисления
==Фибоначчиева система счисления==
{{Определение
|definition=
последовательность чисел Фибоначчи <tex>\left\{F_n\right\}</tex> задается линейным рекуррентным соотношением:
: <tex>F_0 = 0,\qquad F_1 = 1,\qquad F_{n+1} = F_n + F_{n-1}, \quad n\in\mathbb{N}.</tex>
}}
'''Фибоначчиева система счисления''' основывается на [[числа Фибоначчи|числах Фибоначчи]].
: <tex>x = \sum_{k=0}^n f_k F_k</tex>, где <tex>F_k</tex> — числа Фибоначчи, <tex>f_k\in\{0,1\}</tex>, при этом в записи <tex>f_nf_{n-1}\dots f_0</tex> не встречается две единицы подряд.
Таким образом, любое неотрицательное целое число <tex>a = 0,\ 1,\ 2,\dots</tex> можно единственным образом представить через последовательность битов …ε<sub>k</sub>…ε<sub>4</sub>ε<sub>3</sub>ε<sub>2</sub>: <tex>a = \sum_k \varepsilon_k F_k,\ \varepsilon_k = 0,1</tex>, причём последовательность {ε<sub>k</sub>} содержит лишь конечное число единиц, и не имеет пар соседних единиц: <tex>\forall k\ge 2: (\varepsilon_k=1) \Rightarrow (\varepsilon_{k+1}=0)</tex>.
За исключением последнего свойства, данное представление аналогично двоичной системе счисления.
{{Теорема
|id=th1
|author=Цекендорф
|statement=
Любое неотрицательное целое число представимо в виде суммы некоторого набора чисел Фибоначчи, не содержащего пары соседних чисел Фибоначчи. Причём представление такое единственно.
|proof=
Доказательство существования легко провести по индукции. Любое целое число <tex>a\ge 1</tex> попадёт в промежуток между двумя соседними числами Фибоначчи, то есть для некоторого <tex>n\ge 2</tex> верно неравенство: <tex>F_n \le a < F_{n+1}</tex>. Таким образом, <tex>a = F_n + a'</tex>, где <tex>a'=a-F_n\ <\ F_{n-1}</tex>, так что разложение числа <tex>a'</tex> уже не будет содержать слагаемого <tex>F_{n-1}</tex>.
}}
