26
правок
Изменения
еще немного
Устремляя <tex> \varepsilon </tex> к нулю, получаем, что <tex> \| A^* \| \ge \| A \| </tex>, и, окончательно, <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.
}}
== Примеры сопряженных операторов ==
Возьмем любое гильбертово пространство <tex> H </tex>, <tex> A : H \to H </tex>.
<tex> \forall \varphi \in H^* </tex> по теореме Рисса об общем виде линейного функционала в <tex> H </tex> существует
<tex> z : \varphi (y) = \langle y, z \rangle, \| \varphi \| = \| z \| </tex>.
Поскольку <tex> x \mapsto \varphi (Ax) </tex> также является линейным функционалом <tex> H \to H </tex>, то <tex> \varphi (Ax) = \langle Ax, z \rangle = \langle x, y \rangle </tex>, где <tex> y </tex> не зависит от <tex> x </tex>.
Имеем отображение <tex> z \mapsto y </tex>, тогда <tex> y = A^*(z) </tex>, и окончательно:
<tex> \langle Ax, z \rangle = \langle x, A^*z \rangle </tex>.
В гильбертовом пространстве <tex> H </tex> сопряженный оператор {{---}} тот оператор, который позволяет писать равенство выше.
{{Определение
|definition=
Оператор <tex> A </tex> называется ''самосопряженным'', если <tex> A = A^* </tex>
}}
В случае <tex> \mathbb{R}^n </tex> (частный случай <tex> H </tex>) оператор <tex> A : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n </tex> представляет собой матрицу размером <tex> n \times n </tex>. Сопряженный к <tex> A </tex> оператор получается транспонированием соответствующей матрицы: <tex> A^* = A^T </tex>. Для симметричной матрицы <tex> A </tex> получается <tex> A^* = A^T = A </tex>, то есть, если <tex> A </tex> {{---}} симметричная матрица, то <tex> A </tex> {{---}} самосопряженный оператор.
Рассмотрим теперь пространство <tex> E = L_p [0, 1] </tex>.
Пусть <tex> K(u, v) : [0, 1] \times [0, 1] \to \mathbb{R} </tex> {{---}} непрерывная функция на <tex> [0, 1] \times [0, 1] </tex>, <tex> x \in E </tex>.
''Интегральный оператор'' <tex> A </tex>, действующий из <tex> L_p [0, 1] </tex> в <tex> L_p [0, 1] </tex> определяется так: <tex> A(x, s) = (Ax)(s) = \int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt </tex>. <tex> Ax \in E </tex>.
Построим сопряженный оператор:
По теореме об общем виде линейного функционала в <tex> L_p </tex> {{TODO|t=ее у нас в курсе не было}},
<tex> \forall \varphi \in E^*, x \in E: \varphi(x) = \int\limits_0^1 y(t) x(t) dt, y \in L_q </tex>, где <tex> \frac 1p + \frac 1q = 1 </tex> (<tex> p </tex> и <tex> q </tex> называются ''сопряженными показателями'').
<tex> L_p^* = L_q </tex>.
<tex> A^*(\varphi, x) = \varphi (Ax) = \int\limits_0^1 y(s) (Ax)(s) ds = \int\limits_0^1 y(s) (\int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt) ds = </tex> (по теореме Фубини поменяем порядок интегрирования) <tex> = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex>
Получили, что <tex> A^*(\varphi, x) = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex>. Обозначим <tex> z(t) = \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds </tex>, тогда <tex> A^* (\varphi) \equiv z </tex>, аналогично <tex> \varphi \equiv y </tex>.
<tex> A^* </tex> {{---}} интегральный оператор из <tex> L_q </tex>, имеющий ядро <tex> K^*(s, t) = K(s, t) </tex>. В частности, если ядро симметрично (<tex> K(s, t) = K(t, s) </tex>), и <tex> k = 2 </tex>, то <tex> A = A^* </tex>
== Ортогональное дополнение ==
Важное значение имеет ''ортогональное дополнение'' (в любом нормированном пространстве):
<tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.
<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} ортогональное дополнение <tex> S \subset E^* </tex>.
Аналогично определяется для <tex> T \subset E : T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.
{{Утверждение
|statement= <tex> \{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ 0 \} = E^{\bot} </tex>.
|proof=
Оба включения <tex> \subset </tex> очевидны по определению. В обратную сторону:
Пусть <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>, тогда <tex> \forall f \in E^*: f(x) = 0 </tex>
Предположим, что <tex> x \neq 0 </tex>, тогда по теореме Хана-Банаха, <tex> \exists f: f(x) = \| x \| \neq 0 </tex>, получили противоречие, что <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>.
Второе включение в обратную сторону доказывается аналогично.
}}
