1302
правки
Изменения
м
Нет описания правки
Аналогично, <tex> E^{**} </tex> {{---}} пространство, сопряженное к <tex> E^* </tex>.
Между <tex> E </tex> и <tex> E^{**} </tex> существует так называемый '''естественный изоморфизм''', сохраняющий норму точки. {{TODO|t=?}}
Введем <tex> F_x </tex> следующим образом: <tex> F_x (f) = f(x), f \in E^{*} </tex>.
<tex> | F_{x_0} (f_0) | = f_0 (x_0) = \| x_0 \|, \| f_0 \| = 1 </tex>, потому получаем, что <tex> \| F_{x_0} \| \ge \| x_0 \| \implies \| F_{x_0} \| = \| x_0 \| </tex>.
Значит, получившееся преобразование <tex> x \mapsto F_x </tex> {{---}} изометрия, <tex> \| x \| = \| F_x \| </tex>, получили '''естественное вложение''' <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.
<tex> E </tex> называется '''рефлексивным''', если <tex> E </tex> будет совпадать с <tex> E^{**} </tex> при таком отображении.
Например, гильбертово пространство <tex> H </tex> рефлексивно (следует из теоремы Рисса об общем виде линейного функционала).
Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.
<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>.
{{Теорема
{{Определение
|definition=
Оператор <tex> A </tex> называется '''самосопряженным''', если <tex> A = A^* </tex>
}}
Пусть <tex> K(u, v) : [0, 1] \times [0, 1] \to \mathbb{R} </tex> {{---}} непрерывная функция на <tex> [0, 1] \times [0, 1] </tex>, <tex> x \in E </tex>.
'''Интегральный оператор''' <tex> A </tex>, действующий из <tex> L_p [0, 1] </tex> в <tex> L_p [0, 1] </tex> определяется так: <tex> A(x, s) = (Ax)(s) = \int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt </tex>. <tex> Ax \in E </tex>.
Построим сопряженный оператор:
По теореме об общем виде линейного функционала в <tex> L_p </tex> {{TODO|t=ее у нас в курсе не было. КАК НЕ БЫЛО-ТО???777 НИЧЕГО ШТО ЭТО ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО!!?? -- Вот только <tex>L_p</tex> не совсем гильбертово, ага? (<tex>p \neq 2</tex>)}},
<tex> \forall \varphi \in E^*, x \in E: \varphi(x) = \int\limits_0^1 y(t) x(t) dt, y \in L_q </tex>, где <tex> \frac 1p + \frac 1q = 1 </tex> (<tex> p </tex> и <tex> q </tex> называются '''сопряженными показателями''').
<tex> L_p^* = L_q </tex>.
== Ортогональное дополнение ==
Важное значение имеет '''ортогональное дополнение''' (в любом нормированном пространстве):
<tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.
