==Алфавит и Слово== '''Алфавит''' - конечное непустое множество символов. Условимся обозначать алфавиты символом <tex>\Sigma</tex>. '''Слово'''#перенаправление [[Основные определения, или '''цепочка''' - это конечная последовательность символов некоторого алфавита. Например, 01101 - это цепочка в бинарном алфавите <tex>\Sigma = {0,1}</tex>. Цепочка 111 это тоже цепочка в этом алфавите. ''Пустая цепочка'' - это цепочка, не содержащая ни одного символа. Эту цепочку обозначаемую <tex> \varepsilon </tex>, можно рассматривать как цепочку в любом алфавите. ''Длина цепочки'' - число позиций для символов в цепочке.'''Степени алфавита'''Если <tex>\Sigma</tex> - некоторый алфавит, то можно выразить множество всех цепочек определенной длины, состоящих из символов данного алфавита, используя знак степени. Определим <tex>\Sigma^k</tex>, как множество всех цепочек длины k, состоящих из символов алфавита <tex>\Sigma</tex>. '''Конкатенация слов''' Пусть x и y - цепочки. Тогда xy обозначает их ''конкатенацию'' (соединение), т.е. цепочку, в которой последовательно записаны цепочки x и y. ''Свойства'' * Ассоциотивность <tex>(\alpha\beta)\gamma=\alpha(\beta\gamma)</tex>* <tex>\exists </tex> нейтральный элемент <tex>\alpha\varepsilon=\varepsilon\alpha=\alpha</tex> Таким образом мы получаем''свободный моноид слов''. Слово <tex>\alpha</tex> является '''префиксом''' <tex>\beta</tex>, если <tex>\beta = \alpha\gamma</tex> для некоторого <tex>\gamma</tex>. Слово <tex>\alpha</tex> является '''суффиксом''' <tex>\beta</tex>, если <tex>\beta = \gamma\alpha</tex> для некоторого <tex>\gamma</tex>. Слово <tex>\alpha</tex> является '''подстрокой''' <tex>\beta</tex>, если <tex>\beta = \gamma\alpha\delta</tex> для некоторого <tex>\gamma</tex>, <tex>\delta</tex>. (<tex>\gamma<\tex>, <tex>\delta<\tex> могут быть пустыми) ==Язык=='''Язык''' - множество строчек, каждая из которых принадлежит <tex>\Sigma^*</tex>, где <tex>\Sigma</tex> - некоторый фиксированный алфавит. Если <tex>\Sigma</tex> - алфавит, и <tex>\L \subseteq Sigma^*</tex>, то <tex>L</tex> - это ''язык над'' <tex>\Sigma</tex>, или ''в'' <tex>\Sigma</tex>. Отметим, что язык в <tex>\Sigma</tex> не обязательно должен содержать цепочка, в которые входят все символы <tex>\Sigma</tex>. Поэтому, если известно, что <tex>L</tex> является языком в <tex>\Sigma</tex>, то можно утверждать, что <tex>L</tex> - это язык над любым алфавитом, содержащим <tex>\Sigma</tex>. '''Операции над языками'''1)* <tex>L \cup M</tex> - ''объединение''* <tex>L \cap M </tex> - ''пересечение''* <tex>L \setminus M</tex> - ''разность'' 2)''Дополнение языка''<tex> \setminus L=L \varepsilon^* \setminus L</tex> 3)''Конкатенация''<tex>LM=\left\{\alpha\beta|\alpha \in L, \beta \in M\right\}</tex>Если язык состоит из одного слова<tex>{\alpha}</tex>, то для упрощения записи его можно обозначить, как \alpha. Тогда можно определить L\alpha и L\eps 4)''Конкатенация с обратным словом''<tex>Lс^{-1}=\left\{\alpha|\alpha c \subset L\right\}</tex> 5)''Замыкание Клини'' <tex>L^*=\bigcup_{i=0}^{\infty}L^i</tex><tex>L^i=LL^{i-1}</tex> <tex>L^1=L</tex> <tex>L^0=\left\{\varepsilon\right\}</tex> '''Пример''': <tex>L=\left\{a,ab\right\}</tex><tex>L^*=\left\{\varepsilon,a,ab,aa,aab,aba,abab,...\right\}</tex>связанные со строками]]
