1679
правок
Изменения
UNLOCK
* но не у всех банаховых пространств он есть
$T: F \to X$, определенный как $T\alpha = \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n$ — биективный линейный оператор.
$\sum\limits_{n = 1}^\infty \alpha_n e_n = \lim_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i$, следовтательно, $\| \sum\limits_{n = 1}^\infty \alpha_n e_n \| \le \sup\limits_n \| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \| = \| \alpha \|$, то есть $\| T\alpha \| \le \| \alpha \| \implies \|T\| \le 1$, то есть он ограничен.
Так как $F$ и $X$ — банаховы, по [[теореме Банаха об обратном операторе]], обратный оператор также ограничен: $\|T^{-1}\| \le C$, то есть $\sup\limits_n \| \sum\limits_{i=1}^n \| \le C \| \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \|$. Получили, что $\forall n: \| S_n(x) \| \le C \|x\|$. Запишем оператор $T$ как $S_n + R_n$, тогда $R_n = T - S_n$, $\|R_n\| \le \| T\| + \|S_n\| \le 1 + C$, то есть норма ост. операторая ограничена одним и тем же числом. {{TODO|t=чо? каким одним и тем же?}}
{{TODO|t=продолжение следует}}
</wikitex>
