40
правок
Изменения
Нет описания правки
{{В разработке}}
== Введение ==
Ранее мы рассматривали уравнения вида <tex> y = \lambda x - \mathcal{A} x </tex>, где <tex> y </tex> дано, так называемое "линейное уравнение 2 рода". Для ответа на вопрос "имеет ли решение это уравнение?" надо изучать <tex> \sigma(\mathcal{A}) </tex>.
Сложнее, когда задано уравнение вида <tex>\mathcal{T}(x) = 0</tex> или <tex>\mathcal{T}(x) = x</tex>, где <tex> T: X \xrightarrow[nonlinear]{} X </tex> {{---}} произвольный оператор из <tex> X </tex> в <tex> X </tex>.
В этом параграфе мы покажем 3 способа решения таких уравнений.
=== Простые итерации ===
Решаем уравнение <tex> x = \mathcal{T}(x) </tex>. Составляем последовательность <tex> x_{n+1} = \mathcal{T}(x_n) </tex> и изучаем сходимость последовательности <tex> \{ x_n \} \xrightarrow[]{?} x^* </tex>.
Если <tex> \mathcal{T} </tex> {{---}} непрерывный оператор, то <tex> x_{n+1} \to \mathcal{T} x^*, \mathcal{T} x_n \to \mathcal{T} x^* </tex> и, по единственности предела, получаем <tex> x^* = \mathcal{T} x^* </tex>.
Во втором семестре у нас было определение [[производной Фреше]]: <tex> \mathcal{T}(x+\Delta x) -\mathcal{T}(x) = \mathcal{T}'(x) \cdot \Delta x + o(\Delta x)</tex>. <tex> \mathcal{T}' </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор.
<tex> \frac { \| o(\Delta x) \|} { \| \Delta x \| } \to 0 </tex>
{{Теорема
|about=Локальная теорема о простой итерации
|statement=
Пусть известно, что существует <tex> \overline{x}: \mathcal{T}(\overline{x}) = \overline{x} </tex> и <tex> \| \mathcal{T}' \| \le q < 1 </tex>.
Тогда существует такой шар <tex> V_{\delta} (\overline x) </tex>, что если <tex> x_0 \in V_{\delta} (\overline x) </tex>, то:
* Метод простых итераций корректно определен: <tex> \mathcal{T}x_n \in V_{\delta} (\overline x), n \le 0</tex>.
* <tex> x_n \to \overline x </tex>
|proof=
Положим <tex> \varepsilon = \frac {1-q}2 </tex>.
В силу определения производной Фреше существует <tex> \delta > 0: \| \Delta x \| \implies \| \mathcal{T} (\overline x + \Delta x) \mathcal{T}(\overline x) - \mathcal{T}'(\overline x) \cdot \Delta x \| < \varepsilon \| \Delta x \| </tex>.
Убедимся в том, что такая <tex> \delta </tex> подходит в качестве радуса шара из условия теоремы:
Предположим, что <tex> x_n \in V_\delta (\overline x) </tex>.
<tex> \| x_{n+1} - \overline x \| = \| \mathcal{T}x_n - \mathcal{T} \overline x\| \le </tex>
<tex> \le \| \mathcal{T} x_n - \mathcal{T} \overline x - \mathcal{T}' (\overline x) (x_n - \overline x) \| + \| \mathcal{T}'(\overline x) (x_n - \overline x)\| </tex>.
Рассмотрим первое слагаемое: <tex> x_n \in V_\delta (\overline x) \implies \| x_n - \overline x \| < \delta </tex>, а значит, <tex> \| \mathcal{T} x_n - \mathcal{T} \overline x - \mathcal{T}' (\overline x) (x_n - \overline x) \| < \varepsilon \| x_n - \overline x \| </tex>.
Второе слагаемое: <tex> \| \mathcal{T}'(\overline x) (x_n - \overline x)\| \le \| \mathcal{T}'(\overline x) \| \| x_n - \overline x \| \le q \| x_n - \overline x \| </tex>
Складывая полученное: <tex> \varepsilon \| x_n - \overline x \| + q \| x_n - \overline x \| = (\frac {1-q}2 + q) \le \frac {1+q}2 \delta < \delta </tex>.
Окончательно мы получили, что <tex> x_n \in V_\delta (\overline x) \implies x_{n+1} \in V_\delta (\overline x) </tex>, то есть метод простых итераций определен корректно. Попутно мы также установили, что <tex> \| x_{n+1} - \overline x \| \le \frac {1+q}2 \| x_n - \overline x \| \le \hdots \le (\frac {1+q}2)^{n+1} \| x_0 - \overline x \| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>, то есть <tex> x_n \to \overline x </tex>.
}}
