40
правок
Изменения
That's all!
=== Проекторы Шаудера ===
Основная идея данного доказательства {{---}} построение проекторов Шаудера.
<tex> \mathcal{T} </tex> {{---}} вполне непрерывен на ограниченном <tex> D </tex>, <tex> M = \mathcal{T}(D) </tex> {{---}} относительно компактно.
<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \in M, \hdots, y_p \in M </tex> {{---}} конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть.
Построим следующую функцию: <tex> \forall j = 1, \hdots, p, \forall y \in M: </tex>
<tex> \mu_j(y) = \begin{cases}
0 & \mbox{if } \| y - y_j \| \ge \varepsilon \\
\varepsilon - \| y - y_j \| & \mbox{if } \| y - y_j \| < \varepsilon \end{cases}
</tex>
Легко проверить, что для любого <tex> j </tex> функция <tex> \mu_j </tex> непрерывна на <tex> M </tex>. {{TODO|t=Легко? Так давайте сделаем это.}}
Поскольку <tex> \{ y_j \} </tex> {{---}} <tex> \varepsilon </tex>-сеть, то <tex> \forall y </tex> все <tex> \mu_j(y) </tex> не могут быть равны нулю одновременно.
Обозначим <tex> S(y) = \sum\limits_{j=1}^p \mu_j(y) </tex>. По предыдущему утверждению, <tex> \forall y: S(y) > 0 </tex>
{{Определение
|definition=
<tex dpi = 140> P_\varepsilon (y) = \sum\limits_{j=1}^p \frac {\mu_j(y)} {S(y)} y_j </tex> {{---}} ''проектор Шаудера''.
}}
Коэффициенты <tex> \frac {\mu_j(y)} {S(y)} </tex> обозначим за <tex> \alpha_j(y) </tex>. Из определения следует, что <tex> \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j(y) = 1 </tex>, то есть, <tex> P_\varepsilon(y) </tex> есть выпуклая комбинация точек <tex> \varepsilon </tex> сети для любого <tex> y </tex>.
<tex> P_\varepsilon(M) \subset \mathcal{L}(y_1, \hdots, y_p) </tex>
Если <tex> M = \mathcal{T}(D) </tex> {{---}} выпуклое множество, то <tex> P_\varepsilon(y) \in M </tex>, как выпуклая комбинация точек <tex> y_1, \hdots, y_p </tex>.
Рассмотрим <tex> \| P_\varepsilon (\mathcal{T} x) - \mathcal{T} x \| = \| \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j y_j - \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j y \| = \| \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j (y_j - y) \| </tex>.
Если <tex> \| y_j - y \| > \varepsilon </tex>, то <tex> \alpha_j(y) = 0 </tex>, поэтому, продолжая цепочку неравенств, <tex> \| \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j (y_j - y) \| \le \varepsilon \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j \le \varepsilon </tex>.
Получили, что <tex> P_\varepsilon \mathcal{T} \rightrightarrows \mathcal{T} </tex>, когда <tex> \varepsilon \to 0 </tex>.
Каждый из операторов <tex> P_\varepsilon \mathcal{T} </tex> конечномерен: <tex> \mathop{dim} R(P_\varepsilon \mathcal{T}) < +\infty </tex>.
По неравенству, полученному чуть выше, также имеем <tex> \| P_\varepsilon (\mathcal{T} x) - \mathcal{T} x \| \le \varepsilon \, \forall x \in D </tex>.
В итоге мы имеем следующую теорему:
{{Теорема
|statement=
Проекторы Шаудера оператора <tex> \mathcal{T} </tex> равномерно сходятся к <tex> \mathcal{T} </tex>: <tex> P_\varepsilon \mathcal{T} \rightrightarrows \mathcal{T} </tex>, то есть любой вполне непрерывный оператор является равномерным пределом последовательности конечномерных операторов.
}}
Соединяя с теоремой Брауэра, получим:
<tex> M </tex> {{---}} выпуклое ограниченное множество, оператор <tex> \mathcal{T} : M \to M </tex> является вполне ограниченным.
Определим последовательность <tex> \mathcal{T}_n = P_{\frac 1n} \mathcal{T} </tex>. <tex> \mathcal{T}_n : M_n \to M_n </tex>, где <tex> M_n </tex> {{---}} конечномерное пространство.
Применяя теорему Брауэра, получаем, что <tex> \forall n: \exists x_n \in M_n: x_n = \mathcal{T}_n x_n = x_n </tex>.
Учитывая, что <tex> M_1 \cup M_2 \cup \hdots </tex> относительно компактно, из <tex> \{ x_n \} </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность: <tex> \exists x_{n_k} \to x^* \in M </tex>.
<tex> \| x^* - \mathcal{T}x^* \| = \| \lim(x_{n_k} - \mathcal{T} x_{n_k}) \| </tex>.
По выбору <tex> x_{n_k} </tex>: <tex> x_{n_k} = \mathcal{T}_{n_k} x_{n_k} </tex>.
По равномерной сходимости <tex> \mathcal{T}_n \rightrightarrows \mathcal{T} </tex>: <tex> \| \mathcal{T}_{n_k} x_{n_k} - \mathcal{T} x_{n_k} \| \le \varepsilon </tex>, начиная с <tex> k_0 </tex> для всех <tex> x \in M </tex>.
Откуда, окончательно, получаем, что искомый предел равен <tex> 0 </tex>, и <tex> \| x^* - \mathcal{T} x^* \| = 0 </tex>, и <tex> x^* = \mathcal{T} x^* </tex>. Теорема Шаудера доказана.
That's all!
