Изменения
Нет описания правки
== Естественное вложение ==
Введем <tex> F_x </tex> следующим образом: <tex>\forall x \in E : F_x (f) = f(x), f \in E^{*} </tex>.
Значит, получившееся преобразование <tex> x \mapsto F_x </tex> — изометрия, <tex> \| x \| = \| F_x \| </tex>, получили '''естественное вложение''' <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.
<tex> E </tex> называется '''рефлексивным''', если <tex> E </tex> будет совпадать с <tex> E^{**} </tex> при таком отображении.
Например, гильбертово пространство <tex> H </tex> рефлексивно (следует из теоремы Рисса об общем виде линейного функционала).
Если допустить, что $t_{n_k} \to \infty$:
$z_{n_k}+t_{n_k}y \to u$. $z_{n_k}/t_{n_k} + y \to 0 \implies z_{n_k}/t_{n_k} \to -y \implies -y \in \operatorname{Cl}(R(A)) \implies y \in \operatorname{Cl}(R(A))$ {{---}} противоречие. $\operatorname{Cl}(F_1) = F_1$. Построим на $F_1$ фунционал $\varphi_0 : \varphi_0(z+ty) = t \implies \varphi_0(z) = 0$ {{---}} функционал, обнуляющийся на $R(A)$. Он очевидно непрерывен, по теореме Хана-Банаха с сохранением напрерывности его можно продолжить на $F: \widetilde{\varphi} \in F^*$. $\widetilde{\varphi}\mid _{F_1} = \widetilde{\varphi_0}$ $\forall y \in \operatorname{Cl}(R(A)) \widetilde{\varphi_0}(y) = 0$ C другой стороны $\widetilde{\varphi_0}(y) = 1$ {{---}} противоречие, т.к. $y in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp \implies y \in \operatorname{Cl}(R(A))$
{{TODO|t=to be continued.... А вообще, проверьте, я сам не уверен}}
