40
правок
Изменения
м
Нет описания правки
Если <tex> \mathcal{T} </tex> {{---}} непрерывный оператор, то <tex> x_{n+1} \to \mathcal{T} x^*, \mathcal{T} x_n \to \mathcal{T} x^* </tex> и, по единственности предела, получаем <tex> x^* = \mathcal{T} x^* </tex>.
Во втором семестре у нас было определение [[Дифференцируемые_отображения_в_нормированных_пространствах|производной Фреше]]: <tex> \mathcal{T}(x+\Delta x) -\mathcal{T}(x) = \mathcal{T}'(x) \cdot \Delta x + o(\Delta x)</tex>. <tex> \mathcal{T}' </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор.
<tex> \frac { \| o(\Delta x) \|} { \| \Delta x \| } \to 0 </tex>
Домножим равенство с обеих сторон на <tex> \Gamma(x_0) </tex>: <tex> -\Gamma(x_0) \mathcal{T}(x_0) = \Gamma(x_0) \mathcal{T}'(x_0) \cdot (\overline x - x_0) = \overline x - x_0 </tex>.
<tex> \overline x = x_0 - \Gamma (x_0) \mathcal{T}(x_0) </tex>.
Теперь положим <tex> x_{n+1} = x_n - \Gamma(x_0x_n) \mathcal{T} (x_0x_n) </tex> и получим итерацию метода Ньютона-Канторовича для функции
<tex> \mathcal{F}(x) = x - \Gamma(x) \mathcal{T} (x)</tex>
== Теорема Шаудера ==
Рассмотрим другую идею решения <tex> \mathcal{T} x = x </tex>. Оно основывается на том факте, что если функция <tex> f </tex> отображает отрезок <tex> [a, b] </tex> в себяЯсебя, то существует такая точка <tex> c \in [a, b] : c = f(c) </tex>.
Обобщение этого факта для <tex> \mathbb{R}^n </tex> называется теоремой Брауэра:
