Изменения

Работаем с целыми числами, которые представляются с помощью <tex>w </tex> битов, аналогично [[Дерево ван Эмде Боаса | дереву Ван Эмде Боаса]]. Мы можем их складывать, вычитать, умножать, сдвигать, производить с ними логические операции, адресоваться ими. В модели памяти <tex>\mathrm{unit ~cost ~RAM}</tex>, которая сейчас применима к большинству процессоров, эти операции могут быть выполнены за О<tex>O(1)</tex>.

'''Цифровой бор — ''' {{---}} [[Бор | бор]], в котором в качестве строк используются двоичные записи чисел, включая ведущие нули.Таким образом он имеет глубину <tex>w</tex>.

Цифровой бор поддерживает операции <tex>\mathrm{insert}, \ \mathrm{remove}, \ \mathrm{find}, \ \mathrm{succ}, \ \mathrm{pred}</tex>.

Удаление можно выполнять лениво {{- --}} просто убирая пометку с листа. А можно хранить число пометок в поддереве и удалять вершину, если это число стало равным нулю.

Поиск следующего элемента осуществляется проходом от корня до вершины, из которой не можем пойти в нужную сторону. Если не смогли пойти влево <tex>(</tex>по ребру <tex>0)</tex>, то ответ {{- --}} минимум в правом поддереве. Если не смогли пойти вправо, поднимаемся наверх, пока являемся правым ребенком, ; если стали левым, то поднимаемся, пока у вершины нет правого ребенка (если такой ситуации нет, то запрос больше всех элементов). Тогда ответ {{--- }} минимум в правом поддереве.

Преимущества: простая реализация, занимает <tex>O(n * \cdot w) </tex> памяти, все операции выполняются за <tex>O(w)</tex>.

[[File:Tsifrovoybor.jpg|thumb|500px|x-fast-trie]][[File:Min amp amp max.jpg|thumb|right|500px|Ссылки на минимум и максимум]]Он по-прежнему будет занимать <tex>O(n * \cdot w) </tex> памяти, но немодифицирующие операции <tex>(read{-}only) </tex> будут выполняться за <tex>O(\log w)</tex>. [[File:Tsifrovoybor.jpg|thumb|500px|x-fast-trie]]

Улучшим структуру: было два слабых места — {{---}} подниматься вверх и искать минимум.

Первая модификация {{- --}} занесем все элементы в двусвязный список в порядке, в котором они лежат в боре. Добавим операцию <tex>\mathrm{succOrPred}</tex>, которая возвращает следующий или предыдущий в зависимости от того, что проще. Спускается Работает она так: спускается вниз до наибольшего общего префикса, а потом до минимума в правом дереве или же до максимума в левом. Тогда мы получим какой-то элемент списка и не более чем за два шага в списке сможем получить ответ на запрос.

Вторая модификация {{- --}} добавим ссылки.Операции поиска минимума и максимума дорогие, выполним их за О<tex>O(1)</tex>. Теперь становится понятно, что необязательно спускаться до минимума или максимума в дереве. Если у вершину вершины нет левого сына (, отметим это одним битом) , а вместо ссылки на левого сына сделаем ссылку на минимум в правом поддереве, что удобно для нашей реализации <tex>\mathrm{succOrPred}</tex>. Если нет правого сына, то храним ссылку на максимум в левом поддереве. [[File:TrieMin.jpg|thumb|300px|Ссылка на минимум]] [[File:Trie_max.jpg|thumb|300px|Ссылка на максимум]]

При вставке с помощью <tex>\mathrm{succOrPred }</tex> и двусвязного списка находим следующий и предыдущий элементы и вставляем нужный элемент между ними. А также при создании новой вершины(у которой будет только один ребенок) на обратном пути рекурсии заменяем ссылки.<code style = "display: inline-block;"> <font color="green">// prefixes {{---}} HashMap всех префиксов бора</font> <font color="green">// узлы списка и дерева будем хранить одним типом: узлом с ссылками на правый и левый элементы, а содержимым {{---}} целым числом</font> <font color="green">// только в списке будет храниться само число, а боре 1, если вершина {{---}} лист, и 0 в остальных случаях</font> '''function''' insert(x: '''N'''): '''if''' x '''in''' prefixes <font color="green">// ''x'' содержится в боре</font> '''return''' <font color="green">// тогда не добавляем его</font> '''Node''' left = pred(x), right = succ(x), node = Node(x) <font color="green">// insert node между left и right в двусвязном списке листьев</font> <font color="green">// передаём ссылку на элемент в списке, чтобы сделать на него быструю ссылку в случае отсутствия одного из сыновей</font> root = insertNode(root, w, node) prefixes.addAll(allPrefixes(x))  '''N''' insertNode(vertex: '''N''', depth: '''unsigned int''', node: '''N'''): '''if''' vertex == <tex> \varnothing </tex> vertex = Node(left = <tex>\varnothing</tex>, right = <tex>\varnothing</tex>, terminal = depth == 0) '''if''' depth == 0 '''return''' vertex '''if''' bit(node.value, depth) == 0 <font color="green"> // depth-й бит, т. е. соответствующий текущей глубине</font> vertex.left = insertNode(vertex.left, depth - 1, node) '''else''' vertex.right = insertNode(vertex.right, depth - 1, node) '''if''' vertex.left == <tex> \varnothing </tex> vertex.mark = ''HASNOLEFTSON'' vertex.left = node '''else if''' vertex.right == <tex> \varnothing </tex> vertex.mark = ''HASNORIGHTSON'' vertex.right = node '''else''' vertex.mark = ''HASALLSONS''</code> ===delete===Удаление происходит аналогичнодобавлению. Модифицируем бор, чтобы в вершине был счётчик, сколько у неё вершин в поддереве.Если 0, то удаляем её совсем. Иначе же, если удалился какой-то из сыновей, то надо обновить ссылки min и max. Это сделать просто {{---}} ссылкой на минимум (максимум) в правом (левом) поддереве становится <tex> successor ~(predecessor)</tex> удалённой вершины. Вставка и удаление выполняются за <tex>O(w)</tex>.

Пока что мы не добились асимптотического выигрыша {{- --}} все операции по-прежнему выполняются за О<tex>O(w)</tex>. Теперь слабое место {{--- }} это поиск наибольшего общего префикса. Будем искать его двоичным поиском. Для этого занесём префиксы всех чисел в <tex> HashMap </tex> {{--- }} [[Хеш-таблица |ассоциативный массив]], который по префиксу возвращает вершину в боре <tex>(</tex>чтобы избежать проблемы с ведущими нулями, используем при поиске маску вида <tex>0..01..1\ldots01\ldots1)</tex>. Запустим двоичный поиск по длине наибольшего общего префикса. Как только он вернет максимальный префикс, переходим в вершину(у этой вершины не может быть два сына, так как тогда поиск бы не завершился) и там за О<tex>O(1) </tex> находим минимум или масимуммаксимум, и за О<tex>O(1) </tex> переходим по списку, если нужно.  Итого операции <tex>find, succ </tex> и <tex>pred </tex> будут выполняться за <tex>O(\log w)</tex>.

[[File:Sverkhbystrybor.jpg|thumb|400px|y-fast-trie]] Теперь усовершенствуем <tex>x{-}fast{-}trie </tex> до <tex>y{-}fast{-}trie</tex>, который занимает <tex>O(n) </tex> памяти, а все операции выполняются за <tex>O(\log w)</tex>, правда, для модифицирующих операций эта оценка будет амортизированной.

Пусть <tex>a_1 < a_2 < a_3 < ... < a_n </tex> {{--- }} числа, которые нужно хранить в боре.Выберем какое-то <tex>k </tex> (что за <tex>k </tex> {{- --}} будет видно дальше). Разобьём их на <tex>s </tex> блоков <tex> B </tex> размером от k/2 до 2k, а точнееB_{11} < B_tex dpi=150>\frac{12k} < ... < B_{1n12} < B_{21} /tex> до < B_{22} tex>2k< ... < B_{2n2} < ... < B_{s1} < B_{s2} < ... < B_{sns}Выберем в каждом блоке какого-нибудь представителя. И поместим этих представителей в x-fast-trie. Всего в x-fast-trie будет O(2 * n * w / k) элементов. Поэтому если выбрать k = Omega(w)tex>, то x-fast-trie будет занимать O(n) памяти.а точнее

Каждый лист x-fast-trie является представителем блока, а все остальные элементы блока (в т<tex>\overbrace {a_1 < a_2 < a_3}^{B_1} ~\overbrace {a_4 < ... }^{B_2} ~\overbrace {. ч. и представителя) подвесим к листу как сбалансированное двоичное дерево поиска. В дереве может храниться от w<~a_{n-1} < a_n}^{B_s}</2 До 2 * w элементов, поэтому его высота - O(log w).tex>

Выберем в каждом блоке какого-нибудь представителя. И поместим этих представителей в <tex>x{-}fast{-}trie</tex>. Всего в <tex>x{-}fast{-}trie</tex> будет <tex dpi=150>O(\frac{2 \cdot n \cdot w} {k})</tex> элементов. Поэтому если выбрать <tex>k = \Omega(w)</tex>, то <tex>x{-}fast{-}trie</tex> будет занимать <tex>O(n)</tex> памяти. Каждый лист <tex>x{-}fast{-}trie</tex> является представителем блока, а все остальные элементы блока (в т. ч. и представителя) подвесим к листу как сбалансированное двоичное дерево поиска. В дереве может храниться от <tex dpi=150>\frac{w}{2}</tex> до <tex>2w</tex> элементов, поэтому его высота {{---}} <tex>O(\log w)</tex>. Все деревья поиска занимают <tex>O(n) </tex> памяти, и <tex>x{-}fast{-}trie – </tex> {{---}} <tex>O(n) </tex> памяти. Поэтому <tex>y{-}fast{-}trie </tex> тоже занимает <tex>O(n) </tex> памяти.

Находим <tex>succ = (x )</tex> среди представителей в <tex>x{-}fast{-}trie</tex>, а потом запускаем поиск <tex>succ(x) </tex> в дереве, подвешенном к листу <tex>x</tex>, а также в дереве, подвешенном к листу <tex>pred(x) </tex> среди представителей в <tex>x{-}fast{-}trie</tex>. Представителем дерева является необязательно минимальный или максимальный элемент, поэтому нужно запустить в двух деревьях. Заметим, что мы ищем элемент только в двух деревьях, так как искомый элемент точно находится между своим сакцессором своими следующим и прецессоромпредыдущим элементами. <tex>O(\log w) </tex> на поиск в <tex>x{-}fast{-}trie </tex> и <tex>O(\log w) </tex> на поиск в деревьях поиска, поэтому итогая асимптотика {{--- }} <tex>O(\log w)</tex>.

<tex>succ & </tex> и <tex>pred </tex> выполняются аналогично.

Вставка элемента <tex>x </tex> происходит следующим образом: найдём <tex>succ(x) </tex> и вставим его в подвешенное к листу дерево. Но может возникнуть плохая ситуация: размер дерева станет <tex>2 * \cdot w + 1</tex>. Тогда поступим следующим образом - : удалим наше дерево из <tex>x{-}fast{-}trie</tex>, разделим его на элементы, из которых построим два дерева размером <tex>w </tex> и <tex>w + 1</tex>, и вставим в <tex>x{-}fast{-}trie </tex> их оба. АВЛ-деревья или красно-чёрные позволяют выполнять слияние за линейное время, поэтому операция вставки выполняется за O(w).

Удаление происходит аналогично, только если размер дерева станет <tex dpi=150>\frac{w/}{2 } - 1</tex>, то надо его слить с любым соседним деревом. А если после слияния размер получившегося дерева станет больше <tex>2 * \cdot w</tex>, то надо его разделить аналогично предыдущему случаю. [[АВЛ-дерево |АВЛ-деревья]] или [[Красно-черное дерево |красно-чёрные]] позволяют выполнять слияние и разделение за линейное время, поэтому операции вставки и удаления выполняются за <tex>O(w)</tex>. ===Асимптотика===Заметим, что вставка, которая не модифицирует верхний бор, выполняется за истинный <tex>\log w</tex>, также и <tex>succ, pred</tex>.Плохие операции {{---}} которые модифицируют верхний бор. Но они не происходят слишком часто. Применим амортизационный анализ, используя метод предоплаты. Копим деньги на дешевых операциях. Слияние массивов осуществляется за <tex>O(w)</tex>, как и разделение. Поэтому если мы накопим <tex>\Omega(w)</tex> дополнительных денег на дешёвых операциях, то сумеем расплатиться за все остальные, просто положив константное число дополнительных монет во время каждой операции. Худший для разделения случай произойдет, если мы дальше будем только добавлять элементы {{---}} было <tex dpi=150>\frac{w}{2} - 1</tex> и <tex>2 \cdot w</tex>, слили, стало больше <tex>2 \cdot w</tex>, разделили, таким образом получили два дерева с <tex dpi=150>\frac{5\cdot w}{4}</tex> элементами. Худший случай для слияния, когда у нас <tex>w</tex> элементов (происходит после разделения <tex>2 \cdot w + 1</tex> дерева). Заметим, что в каждом случае дерево находится на расстоянии <tex>\Theta(w)</tex> от границ. Следовательно, если мы будем класть определённое константное число монет, то скопим их достаточно, чтобы расплатиться за дорогие операции слияния и разделения деревьев.

===Ассимптотика===Заметим, что вставка, которая не модифицирует верхний бор, выполняется за истинный Получаем амортизированную оценку <tex>O(\logw)</tex> и истинную {{---}} <tex>O(w), также и succ, pred.Плохие операции — которые модифицируют верхний бор. Но они не происходят слишком часто</tex>.

// O - сверхуПолучилась та же оценка на операции, Omega - снизу, Theta - что и сверху и снизу - памятка для тебяу дерева Ван Эмде Боаса, чтобы не запутатьсяно структура данных занимает <tex>O(n)</tex> памяти.

Применим амортизационный анализ, используя метод предоплаты. Копим деньги на дешевых операциях. Слиянием массивов осуществляется за O(w), как и разделение. Поэтому, если мы накопим Omega(w) дополнительных денег на дешёвых операциях, то сумеем расплатиться за все остальные, просто кладя константное число дополнительных монет во время каждой операции. Худший случай для разделения, если мы дальше будем только добавлять элементы - было w/2 - 1 и 2 * w, слили, стало больше 2 * w, разделели, таким образом получили два дерева с 5/4 * w элементами. Худший случай для слияния, когда у нас w элементов (просиходит после разделения 2 * w + 1 дерева). Заметил, что в каждом случае дерево находится на расстоянии Theta(w) от границ. Следовательно, если мы будем класть определённое константное число монет, то скопим их достаточно, чтобы расплатиться за преобразование верхнего дерева==См. также==

Получаем амортизированную оценку O(log(w)) и истинную ==Источники информации==*[[wikipedia:Y- O(w)fast_trie | Y-fast trie {{---}} Wikipedia]]*[[wikipedia:X-fast_trie | X-fast trie {{---}} Wikipedia]]*[http://compscicenter.ru/courses/advanced-algo/2013-spring/725/ Лекция А. С.Станкевича в Computer Science Center]

Здесь не имеет смысла использовать сливаемые деревья [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория: Деревья поиска, так как после слияния/разделения все равно нужно модифицировать верхний бор.]]Получилась та же оценка на операции, что и у Ван Эмде Боаса, но структура [[Категория: Структуры данных занимает O(n) памяти.]]