175
правок
Изменения
→Количество делителей
== Количество делителей ==
Арифметическая функция <math>~\tau (a) </math> определяется как число положительных делителей натурального числа '''a''':
<center><mathtex>
~\tau(a) = \sum_{d|a} 1
</mathtex></center>
Если '''a''' и '''b''' [[Взаимно простые числа|взаимно просты]], то каждый делитель произведения '''ab''' может быть единственным образом представлен в виде произведения делителей '''a''' и '''b''', и обратно, каждое такое произведение является делителем '''ab'''. Отсюда следует, что функция <mathtex>~\tau</mathtex> мультипликативна:<center><mathtex>
~\tau(ab) = \tau(a) \tau(b)
</mathtex></center>
Пусть <tex> a = {p_1}^{\alpha_1} {p_2}^{\alpha_2} \ldots {p_k}^{\alpha_k}</tex> - — каноническое разложение числа '''a''',
то в силу мультипликативности
<center><mathtex>
~\tau(a) = \tau(p_1^{\alpha_1}) \tau(p_2^{\alpha_2}) \ldots \tau(p_k^{\alpha_k})
</mathtex></center>
Но положительными делителями числа <mathtex>p_i^{\alpha_i}</mathtex> являются <mathtex>~\alpha_i+1</mathtex> чисел <mathtex>1, p_i, \ldots, p_i^{\alpha_i}</mathtex>.
Значит,
<center><mathtex>
~\tau(n) = (\alpha_1+1) (\alpha_2+1) \ldots (\alpha_k+1)
</mathtex></center>
== Сумма делителей ==
