Изменения

Так как <tex>F</tex> и <tex>X</tex> — банаховы, по [[Теорема Банаха об обратном операторе|теореме Банаха об обратном операторе]], обратный оператор также ограничен: <tex>\|T^{-1}\| \le C</tex>, то есть можно писать, что <tex>\|\alpha\| \le C \|x\|</tex>, или <tex>\sup\limits_n\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_n e_n \| \le C \| \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \|</tex>. Получили, что <tex>\forall n: \| S_n(x) \| \le C \|x\|</tex>. Запишем оператор <tex>T</tex> как <tex>S_n + R_n</tex>, тогда <tex>R_n = T - S_n</tex>, <tex>\|R_n\| \le \| T\| + \|S_n\| \le 1 + C</tex>, то есть нормы остаточных операторов ограничены одним и тем же числом. {{TODO|t=я ведь правильно распознал текст конспекта?}}

<tex>\|T^{{TODO-1}\|t=я что-\le C</tex>, то совершенно не понимаюесть, можно писать, что там дальше происходит =(}}<tex>\|\alpha\| \le C \|x\|</tex>.

<tex>\sup\limits_n\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_n e_n \| \le C \| \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \|</tex>. Получили, что <tex>\forall n: \| S_n(x) \| \le C \|x\|</tex>.  Запишем оператор <tex>T</tex> как <tex>S_n + R_n</tex>, тогда <tex>R_n = T - S_n</tex>, <tex>\|R_n\| \le \| T\| + \|S_n\| \le 1 + C</tex>. Это значит, что нормы всех остаточных операторов <tex> R_n </tex> ограничены одним и тем же числом. Пусть <tex>A : X \to X</tex> — компактный. <tex>A = IA = S_n A + R_n A = A_1 + A_2</tex>. <tex>S_n(y) = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k e_k</tex>. <tex>R(A_1) \subset \mathcal L(e_1, \ldots, e_n)</tex>, то есть, <tex>A_1</tex> — конечномерный оператор. Проверим, что <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists n_0: \|R_{n_0} A \| < \varepsilon</tex>: Для любого <tex>y \in X</tex>, <tex>\|R_n\| \le 1 + C</tex> и <tex>R_n(y) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>. <tex>M</tex> — относительно компактно в <tex>X</tex>, следовательно, для любого <tex>\varepsilon > 0</tex> есть конечная <tex>\varepsilon</tex>-сеть <tex>z_1, \ldots, z_p</tex>. <tex>\forall y \in M \exists z_j:\ \|y - z_j\| < \varepsilon</tex> <tex>\|R_n y\| = \|R_n y - R_n z_j + R_n z_j\| \le \|R_n\| \|y - z_j\| + \|R_n z_j\| \le (1 + C) \varepsilon + \|R_n z_j\| \le</tex> {{TODO|t=что-то неразборчивое}} <tex>\le (2 + C) \varepsilon</tex> <tex>\overline V</tex> — единичный шар в <tex>X</tex>, <tex>M = A(\overline V)</tex> — компактно. <tex>R_n(Ax) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0</tex> на <tex> \overline V </tex>, так как <tex>R_n(y) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0</tex> на <tex>M</tex>. Получили <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists n_0: \|R_{n_0} (Ax)\| < \varepsilon\ forall x \in \overline{V}</tex>, то есть, <tex>\|R_{n_0}A\| < \varepsilon</tex>. Итак, если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом (Шаудера?), <tex>A:X \to X</tex> — компактный, <tex>\forall \varepsilon > 0: A = A_1 + A_2</tex>, где <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty, \|A_n\| < \varepsilon</tex> — почти конечномерность компактного оператора.