689
правок
Изменения
м
Нет описания правки
<tex>\forall y \in M \exists z_j:\ \|y - z_j\| < \varepsilon</tex>
<tex>\|R_n y\| = \|R_n y - R_n z_j + R_n z_j\| \le \|R_n\| \|y - z_j\| + \|R_n z_j\| \le (1 + C) \varepsilon + \|R_n z_j\| \le</tex>
<tex> \forall j = 1\ldots p, R_n z_j \xrightarrow[n \to \infty]{{TODO} 0 </tex>, поэтому <tex> \exists N_j: \forall n > N_j \|R_n z_j\|t=что-то неразборчивое}}< \varepsilon </tex>.
Возьмем <tex>N = \max\limits_{j = 1\ldots p} N_j </tex>, тогда <tex> \forall n > N\ \forall j = 1\ldots p:\ \|R_n z_j \| < \varepsilon </tex>. Значит, <tex>\|R_n y \| \le (2 + C) \varepsilon</tex>.
<tex>\overline V</tex> — единичный шар в <tex>X</tex>, <tex>M = A(\overline V)</tex> — компактно.
<tex>R_n(Ax) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0</tex> на <tex> \overline V </tex>, так как <tex>R_n(y) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0</tex> на <tex>M</tex>.
Получили <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists n_0: \|R_{n_0} (Ax)\| < \varepsilon\ \ forall x \in \overline{V}</tex>, то есть, <tex>\|R_{n_0}A\| < \varepsilon</tex>.
Итак, если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, <tex>\forall \varepsilon > 0: A = A_1 + A_2</tex>, где <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty, \|A_n\| < \varepsilon</tex> — почти конечномерность компактного оператора.
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]
