1679
правок
Изменения
вроде привел в адекватный вид
{{TODO|t=доказать, доказательство есть в Люстернике-Соболеве}}
}}
Определим биективный линейный оператор <tex>T: F \to X</tex> как <tex>T \alpha = \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n</tex>.
почти конечномерность компактного оператора
|statement=
Итак, если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что:
# <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex>
<tex>A = IA = S_n A + R_n A = A_1 + A_2</tex>.
Рассмотрим <tex>M\overline V</tex> — относительно компактно единичный шар в <tex>X</tex>, <tex>M = A(\overline V)</tex> — относительно компактно, следовательно, для любого <tex>\varepsilon > 0</tex> есть конечная <tex>\varepsilon</tex>-сеть <tex>z_1, \ldots, z_p</tex>.
<tex>\forall y \in M \exists z_j:\ \|y - z_j\| < \varepsilon</tex>
Значит, <tex>\|R_n y \| \le (2 + C) \varepsilon</tex>.
<tex>R_n(Ax) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0</tex> на <tex> \overline V </tex>, так как <tex>R_n(y) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0</tex> на <tex>M</tex>.
Получили <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists n_0: \|R_{n_0} (Ax)\| < \varepsilon\ \forall x \in \overline{V}</tex>, то есть, <tex>\|R_{n_0}A\| < \varepsilon</tex>.
В итогде, примем <tex>A_1 = S_{n_0}A</tex>, <tex>A_2 = R_{n_0}A</tex>
{{TODO|t=компактность?}}
}}
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]
