355
правок
Изменения
м
Нет описания правки
В силу линейности уравнения, можно выбрать <tex> \widehat x_n </tex> с единичной нормой, тогда <tex> \|y_n\| \to 0 </tex>.
<tex> T = I - A </tex>, так как <tex> \{ \widehat x_n \} </tex> ограничено и <tex> A </tex> компактен, то из <tex> z_n = A \widehat x_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность (далее, видимо, за <tex> z_n </tex> обозначаются члены этой подпоследовательности), <tex> z_{n_{k}} \to z </tex>.
Тогда получаем <tex> y_n = \widehat x_n - z_{n_{k}}</tex>.
То есть, <tex> Tz = 0, z \in \operatorname{Ker} T </tex>.
<tex> T(\widehat x_n - z) = y_n </tex>, но, так как мы выбирали минимальное по норме <tex> \widehat x_n </tex>, то <tex> \|\widehat x_n - z\| \ge \|\widehat x_n\| = 1</tex>
Получили, что <tex> 0 \ge 1 </tex> — противоречие, значит, априорная оценка существует, <tex> R(T) </tex> замкнуто, и теорема доказана.
