418
правок
Изменения
Новая страница: «== Основные определения == <tex>\mathbb{R}</tex>. Пусть <tex>\Phi(x,y)</tex> - симметричная билинейная форма, ...»
== Основные определения ==
<tex>\mathbb{R}</tex>. Пусть <tex>\Phi(x,y)</tex> - симметричная билинейная форма, т.е. <tex>\Phi(x,y) = \sum_{i,k=1}^n \varphi_{ik}\xi^k\eta^k</tex> (1), причем: <tex>\Phi=||\varphi||:\varphi_{ik}=\varphi_{ki}</tex> (т.е. <tex>\Phi=\Phi^T</tex>, т.е. симметрична)
<tex>\mathbb{C}</tex>. Пусть <tex>\Phi(x,y)</tex> - эрмитова форма, т.е. <tex>\Phi(x,y) = \sum_{i,k=1}^n \varphi_{ik}\xi^i\eta^k</tex> (2), где <tex>\Phi=||\varphi_{ik}||:\varphi_{ik}=\overline{\varphi_{ki}}</tex> (т.е. <tex>\Phi=\overline{\Phi^T}=\Phi^*</tex>, т.е. эрмитова)
{{Определение
|definition=Квадратичной формой называется <tex>\Phi(x,x)</tex>, полученная взятием <tex>y=x</tex>
}}
Пример.
<tex>\mathbb{E}=\mathbb{R}^3</tex>
<tex>\Phi(x,x) = 2(\xi^1)^2+4\xi^1\xi^2-(\xi^3)^2</tex>
<tex>\Phi=||||</tex>
Преобразование матрицы квадратичной формы при замене базиса.
С. <tex>\{e_i\}^n \rightarrow \{e_k\}_{k=1}^n</tex>
<tex>\varphi_{ik}=\Phi(e_i,e_k)</tex>
<tex>\widehat{\varphi_{ik}}=\Phi(\widehat{e_i},\widehat{e_k}) = \Phi(\tau_i^se_s,\tau_k^te_k) = \tau_i^s\overline{\tau_k^t}\Phi(e_s,e_k)=\tau_s^i\varphi_{sk}\overline{\tau_k^t}</tex>
<tex>\widehat{\Phi} = T^T \cdot \Phi \cdot \overline{T}</tex> (для <tex>\mathbb{C}</tex>) (*)
<tex>\Phi = T^T \cdot \Phi \cdot T</tex> (для <tex>\mathbb{R}</tex>) (**)
== Приведение к каноническому виду методом Лагранжа ==
== Приведение к каноническому виду унитарным преобразованием ==
== Закон инерции квадратичной формы ==
== Одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов ==
<tex>\mathbb{R}</tex>. Пусть <tex>\Phi(x,y)</tex> - симметричная билинейная форма, т.е. <tex>\Phi(x,y) = \sum_{i,k=1}^n \varphi_{ik}\xi^k\eta^k</tex> (1), причем: <tex>\Phi=||\varphi||:\varphi_{ik}=\varphi_{ki}</tex> (т.е. <tex>\Phi=\Phi^T</tex>, т.е. симметрична)
<tex>\mathbb{C}</tex>. Пусть <tex>\Phi(x,y)</tex> - эрмитова форма, т.е. <tex>\Phi(x,y) = \sum_{i,k=1}^n \varphi_{ik}\xi^i\eta^k</tex> (2), где <tex>\Phi=||\varphi_{ik}||:\varphi_{ik}=\overline{\varphi_{ki}}</tex> (т.е. <tex>\Phi=\overline{\Phi^T}=\Phi^*</tex>, т.е. эрмитова)
{{Определение
|definition=Квадратичной формой называется <tex>\Phi(x,x)</tex>, полученная взятием <tex>y=x</tex>
}}
Пример.
<tex>\mathbb{E}=\mathbb{R}^3</tex>
<tex>\Phi(x,x) = 2(\xi^1)^2+4\xi^1\xi^2-(\xi^3)^2</tex>
<tex>\Phi=||||</tex>
Преобразование матрицы квадратичной формы при замене базиса.
С. <tex>\{e_i\}^n \rightarrow \{e_k\}_{k=1}^n</tex>
<tex>\varphi_{ik}=\Phi(e_i,e_k)</tex>
<tex>\widehat{\varphi_{ik}}=\Phi(\widehat{e_i},\widehat{e_k}) = \Phi(\tau_i^se_s,\tau_k^te_k) = \tau_i^s\overline{\tau_k^t}\Phi(e_s,e_k)=\tau_s^i\varphi_{sk}\overline{\tau_k^t}</tex>
<tex>\widehat{\Phi} = T^T \cdot \Phi \cdot \overline{T}</tex> (для <tex>\mathbb{C}</tex>) (*)
<tex>\Phi = T^T \cdot \Phi \cdot T</tex> (для <tex>\mathbb{R}</tex>) (**)
== Приведение к каноническому виду методом Лагранжа ==
== Приведение к каноническому виду унитарным преобразованием ==
== Закон инерции квадратичной формы ==
== Одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов ==
