Изменения
Нет описания правки
==Свойства обратной матрицы==
* <mathdpi = "145">\det A^{-1} = \frac{1}{\det A}</math>* <mathdpi = "145">\ (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}</math>* <mathdpi = "145">\ (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T</math>* <mathdpi = "145">\ (kA)^{-1} = k^{-1}A^{-1}</math>
== Методы нахождения обратной матрицы ==
=== Метод Гаусса для нахождения обратной матрицы ===
Возьмём две матрицы: саму <tex>A</tex> и <tex>E</tex>. Приведём матрицу <tex>A</tex> к единичной матрице методом Гаусса. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной <tex>A^-1</tex>.
====Пример====
Найдем обратную матрицу для матрицы
:<mathdpi = "145"> A =
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 0 \\
\end{bmatrix}.
</math>
*'''1)''' Для начала убедимся, что ее определитель не равен нулю(она невырожденная).
*'''2)''' Справа от исходной матрицы припишем единичную.:<mathdpi = "145"> [ A | I ] =
\left[ \begin{array}{rrr|rrr}
2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\
</math>
*'''3)''' Методом Гаусса приведем левую матрицу к единичной, применяя все операции одновременно и к левой, и к правой матрицам.:<mathdpi = "145"> [ I | B ] =
\left[ \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 0 & 0 & \frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\\[3pt]
</math>
*'''4)''' <texdpi = "145">A^{-1} = B</tex> === Метод присоединенной матрицы === <math dpi = "145">A^{-1} = \frac{1}{\det A}\cdot \mbox{adj}\,A,</math> где <math dpi = "145">\mbox{adj}\,A</math> — присоединенная матрица;{{Определение|definition= '''Присоединенная(союзная, взаимная) матрица''' — матрица, составленная из алгебраических дополнений для соответствующих элементов транспонированной матрицы.}} <math dpi = "145">{C}^{*}= \begin{pmatrix} {A}_{11} & {A}_{21} & \cdots & {A}_{n1} \\{A}_{12} & {A}_{22} & \cdots & {A}_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\{A}_{1n} & {A}_{2n} & \cdots & {A}_{nn} \\\end{pmatrix}</math> Исходная матрица: <math dpi = "145">{A}= \begin{pmatrix} {a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1n} \\{a}_{21} & {a}_{22} & \cdots & {a}_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\{a}_{n1} & {a}_{n2} & \cdots & {a}_{nn} \\\end{pmatrix}</math> Где: * <math dpi = "145">{C}^{*}</math> — присоединённая(союзная, взаимная) матрица;* <math dpi = "145">{A}_{ij}</math> — алгебраические дополнения исходной матрицы;* <math dpi = "145">{a}_{ij}</math> — элементы исходной матрицы. '''Алгебраическим дополнением''' элемента <math dpi = "145">\ a_{ij}</math> матрицы <math dpi = "145">\ A</math> называется число <math dpi = "145">\ A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}</math>, где <math dpi = "145">\ M_{ij}</math> — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы <math dpi = "145">\ A</math> путем вычёркивания ''i'' -й строки и ''j'' -го столбца.====Алгоритм получения обратной матрицы====:*заменить каждый элемент исходной матрицы на его алгебраическое дополнение,:*транспонировать полученную матрицу - в результате будет получена союзная матрица,:*разделить каждый элемент союзной матрицы на определитель исходной матрицы. ==Ссылки==* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Обратная_матрица Википедия {{---}} Обратная матрица] * [http://ru.wikipedia.org/wiki/Союзная_матрица Википедия {{---}} Союзная матрица] * [http://ru.wikipedia.org/wiki/Алгебраическое_дополнение Википедия {{---}} Алгебраическое дополнение] * [http://en.wikipedia.org/wiki/Invertible_matrix Wikipedia {{---}} Invertible matrix]
