Изменения

{{В разработке}}Пусть задана булева функция <tex>f: B^n \rightarrow B, \;\; B=\{ 0; 1 \}</tex>. Любая булева функция представима в виде полинома Жегалкина, притом единственным образом. То естьПусть <br/tex><br/>: <math>fi = (x_i _{1},x_i _{2},...x_i _{n}) , \;\; i _{k} = \bigoplus _{0 ; 1\leq }</tex>, и введем обозначение <tex> x ^{i _{k }} \sim \left\leq n{\begin{matrix} x, \left [;\bigoplus ; i _{k}=1\leq i_\ 1, \;\; i _{1k}<i_=0\end{2matrix}\right. <../tex> &nbsp;&nbsp; Тогда полином Жегалкина можно записать как::<i_math> f(x) = \bigoplus _{k} \leq ni} \alpha _{i_i} \cdot x_{1}i_^{2},..i_{k1}}\cdot x_{i_{12}}x_^{i_{2}}\cdot ...\cdot x_{n}^{i_{kn}} </math>,:где <tex>\alpha _{i} \in \right ],{ 0; 1 \}</mathtex>

:где <tex>\alpha _{i} \in \{ 0; 1 \}</tex> &nbsp;&nbsp; (<tex>i</tex> - вектор из <tex>i_{1}, i_{2},.. i_{k}</tex>).<br/>Пусть <tex> m(i) = (m _{1}, m _{2}, .. m _{n}), \;\;</tex> где для всех индексов <tex>t=i _{k}, \;\; m _{t} = 1</tex>, а для остальных индексов <tex>t \neq i _{k}, \; m _{t} = 0</tex>. Тогда отображение <tex>f\rightarrow \alpha _{i} </tex> (то есть такое, которое по заданной функции определяет ее коэффициенты при членах полинома Жегалкина) является:

: <math>\alpha _{i} = \bigoplus _{j\preceq m(i)} f(j)</math>

: <math> f(x) = \bigoplus _{i} \alpha _{i} \cdot [x _{1} , \; \text {if} \; m \; i _{1}] \cdot [x _{2} , \; \text {if} \; m \; i _{2}] \cdot ... \cdot [x _{n} , \; \text {if} \;\; i_{n}]</math>

Запись <tex>[x _{k} , \; \text {if} \; m i _{k}]</tex> означает, что элелемент <tex> x_{k} </tex> присутствует в соответствующем члене полинома только если <tex> m_i_{k} = 1 </tex>.

: <math> f(x) = \bigoplus _{m(i) \leq preceq x} \alpha _{i} </math>.