262
правки
Изменения
Новая страница: «//статья в разработке\\ =Метрическое пространство= ==Определение== Пусть <tex>M</tex> - множеств...»
//статья в разработке\\
=Метрическое пространство=
==Определение==
Пусть <tex>M</tex> - множество, тогда <tex>M</tex> называется '''метрическим пространством''', если на нём определена функция <tex>f:\: M\times M\longrightarrow R</tex> (расстояние), такая, что выполняются три аксиомы:
<tex>1)\:f(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y</tex> - аксиома тождества;
<tex>2)\:f(x,y)=f(x,y)</tex> - аксиома симметрии;
<tex>3)\:f(x,y)+f(y,z)\geq f(x,z)</tex> - аксиома(неравенство) треугольника;
==Примеры==
1) Дискретная:<tex>
f(x,y)=\left\{ \begin{array}{c}
1,\: x\ne y\\
0,\: x=y
\end{array}\right\}</tex>
2) <tex>M=R^{n}; \: f(x,y)=max\:|x_{i}-y_{i}|</tex> (по всем i)
=Нормированное пространство=
==Определение==
Пусть <tex>X</tex> - линейное пространство над <tex>R(C)</tex>, тогда <tex>X</tex> называется '''нормированным пространством''', если на нём определена функция <tex>\Vert\:\Vert: X\longrightarrow R</tex> (норма), такая, что выполняются три свойства:
<tex>1)\Vert x \Vert \geq 0; \Vert x \Vert = 0 \Leftrightarrow x = 0_{x}</tex> - положительная определённость
<tex>2)\Vert \alpha x \Vert = | \alpha|\cdot \Vert x \Vert</tex>
<tex>3)\Vert x+y \Vert \leq \Vert x \Vert+\Vert y \Vert</tex>
=Метрическое пространство=
==Определение==
Пусть <tex>M</tex> - множество, тогда <tex>M</tex> называется '''метрическим пространством''', если на нём определена функция <tex>f:\: M\times M\longrightarrow R</tex> (расстояние), такая, что выполняются три аксиомы:
<tex>1)\:f(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y</tex> - аксиома тождества;
<tex>2)\:f(x,y)=f(x,y)</tex> - аксиома симметрии;
<tex>3)\:f(x,y)+f(y,z)\geq f(x,z)</tex> - аксиома(неравенство) треугольника;
==Примеры==
1) Дискретная:<tex>
f(x,y)=\left\{ \begin{array}{c}
1,\: x\ne y\\
0,\: x=y
\end{array}\right\}</tex>
2) <tex>M=R^{n}; \: f(x,y)=max\:|x_{i}-y_{i}|</tex> (по всем i)
=Нормированное пространство=
==Определение==
Пусть <tex>X</tex> - линейное пространство над <tex>R(C)</tex>, тогда <tex>X</tex> называется '''нормированным пространством''', если на нём определена функция <tex>\Vert\:\Vert: X\longrightarrow R</tex> (норма), такая, что выполняются три свойства:
<tex>1)\Vert x \Vert \geq 0; \Vert x \Vert = 0 \Leftrightarrow x = 0_{x}</tex> - положительная определённость
<tex>2)\Vert \alpha x \Vert = | \alpha|\cdot \Vert x \Vert</tex>
<tex>3)\Vert x+y \Vert \leq \Vert x \Vert+\Vert y \Vert</tex>
