497
правок
Изменения
→поиск СЗ и СВ
== поиск СЗ и СВ ==
<tex>x \ne 0_x</tex> и
<tex>Ax = \lambda x \Leftrightarrow Ax - \lambda I x = 0 \Leftrightarrow (A - \lambda I)X = 0 </tex>
<math dpi = "145">{C}= \begin{pmatrix}
({\alpha}_{11}- \lambda) \xi^1 & {\alpha}_{11} \xi^2 & \cdots & {\alpha}_{1n} \xi^n \\
{\alpha}_{21} \xi^1 & ({\alpha}_{22}- \lambda) \xi^2 & \cdots & {\alpha}_{2n} \xi^n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{\alpha}_{n1} \xi^1 & {\alpha}_{n2} \xi^2 & \cdots & ({\alpha}_{nn}- \lambda) \xi^n \\
\end{pmatrix}</math>
если <tex>det(A- \lambda E) \ne 0 \Rightarrow exists! </tex> тривиальное решение <tex>(0,0 ... ,0)^T</tex>
если <tex>det(A- \lambda E) = 0 \Rightarrow exists </tex> нетривиальное решение \Rightarrow exists СВ <tex>x</tex>
<tex>\chi_A (\lambda) = 0 </tex> - характеристический полином
<tex>det(A- \lambda E) = 0</tex> - уравнение на СЗ, а
<tex>det(A- \lambda E)X = 0</tex> - уравнение на СВ
из уравнения на СЗ находим <tex>\{\lambda_i \}</tex> - корпни характеристического полинома, они же - характеристические числа
затем подставляем каждую <tex>\lambda_i</tex> в уравнение на СВ по очереди на находим СВ <tex>x_i \leftrightarrow \lambda_i</tex>
так найдутся все СВ.
{{Теорема
|id=th2.
|author=
|about=
|statement=
пусть <tex> A : X \to X, X</tex> над С, тогда у <tex>A</tex> есть хотя бы 1 СЗ и СВ.
|proof=дока у Ани какая-то мутная и с картинкой. думаю, лучше приложить фотку или найти человека с доказательством.
}}
