Изменения
→Свойства
== основные Основные теоремы и определения ==
===Определения===
{{Определение
|id=def1.
|neat =
|definition=
}}
{{Определение
|neat =
|definition=
}}
|about=
|statement=
|proof=
<texmath> (1) \Rightarrow (2) : \colon x \in L, \dim(L)=1 \Rightarrow Ax \mathcal{A}x \in L \ (</math>т. к. <math>x \ne 0_x 0_X \Rightarrow basis </math> базис <math>L = \{x\}), then Ax \Rightarrow \mathcal{A}x=! \lambda x</texmath> (единственным образом) <br><tex> (1) \Leftarrow (2) : \colon \exists \lambda: Ax\mathcal{A}x =\lambda x \Rightarrow x \in</tex> одном.(одномерному) п.п.подпространству <tex>L</tex>, где <tex>L =</tex> линейная оболочка <tex>\{x\}, Ax \mathcal{A}x = \lambda x \in L</tex>
}}
|neat =
|definition=
<tex>\lambda</tex> в равенстве <tex>Ax \mathcal{A}x = \lambda x</tex> называется '''собственным числом(собственным значением)''' ЛО <tex>\mathcal{A}</tex>
}}
|neat =
|definition=
'''спектромСпектром''' <tex>\sigma</tex> ЛО называется множество всех его '''собственных значений''' <br><tex>\sigma (\mathcal{A}) = \sigma _A _\mathcal{A} = \{ \lambda _i \}</tex>
}}
// здесь мог быть пример, но думаю всем и так понятно
===Свойства===
{{Теорема
|id=th1.
|about=
|statement=
'''собственные Собственные векторы''', отвечающие различным '''собственным значениям''' образуют ЛНЗ набор
|proof=
1)базаБаза: рассмотрим <tex>\lambda \leftrightarrow x1 x_1 \ne 0_x \ \{x1x_1\} </tex> - ЛНЗнабор.</texbr> 2) <tex>\{x1x_1,x2x_2, ... , x_{m-1}\} \leftrightarrow \{\lambda _1, ... \lambda _ {m-1 } \}</tex> - ЛНЗ. Рассмотрим <tex>\{x1x_1, ..., x_m \} </tex>- доказать докажем, что тоже ЛНЗ.
<tex>\sum\limits_{ki=1}^m \alpha^i x_i = 0 </tex>
<tex>\mathcal{A}( \sum\limits_{ki=1}^m \alpha_i x_i) = \sum\limits_{ki=1}^m \alpha_i Ax_i = \sum\limits_{ki=1}^m \alpha_i \lambda_i x_i = 0_x</tex> (1)
<tex>\lambda_m( \sum\limits_{ki=1}^m \alpha_i x_i) = \sum\limits_{ki=1}^m \alpha_i \lambda_m x_i = 0_x</tex> (2)
(1) - (2) : <tex>\alpha_1(\lambda_1 - \lambda_m)x_1 + ... + \alpha_malpha_{m-1}(\lambda_mlambda_{m-1 } - \lambda_m)x_mx_{m-1 } + 0_x = 0_x</tex>
<tex>\Rightarrow </tex> все <tex>\alpha_i = 0</tex> <tex>\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i x_i = 0_x</tex>
<tex>\Rightarrow \alpha_m x_m = 0_x </tex>, где <tex>x_m \ne 0_x</tex> <tex>\Rightarrow \alpha_m=0</tex> те , т.е. набор ЛНЗ.
}}
|about=
|statement=
}}
|neat =
|definition=
}}
|about=
|statement=
|proof=
}}
|about= (следствие из теоремы)
|statement=
}}
== поиск Поиск СЗ и СВ ==
<tex>x \ne 0_x</tex> и
<tex>Ax \mathcal{A}x = \lambda x \Leftrightarrow Ax \mathcal{A}x - \lambda \mathcal{I } x = 0 \Leftrightarrow (\mathcal{A } - \lambda \mathcal{I})X = 0 </tex>
<math dpi = "145">{C}= \begin{pmatrix}
({\alpha}_{111}^{1}- \lambda) \xi^1 & {\alpha}_{112}^{1} \xi^2 & \cdots & {\alpha}_{1nn}^{1} \xi^n \\{\alpha}_{211}^{2} \xi^1 & ({\alpha}_{222}^{2}- \lambda) \xi^2 & \cdots & {\alpha}_{2nn}^{2} \xi^n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{\alpha}_{n11}^{n} \xi^1 & {\alpha}_{n22}^{n} \xi^2 & \cdots & ({\alpha}_{nnn}^{n}- \lambda) \xi^n \\
\end{pmatrix}</math>
<tex>\chi_A mathcal{X}_A (\lambda) = 0 </tex> - характеристический полином
<tex>det(A- \lambda E) = 0</tex> - уравнение на СЗ, а
<tex>det(A- \lambda E)X = 0</tex> - уравнение на СВ
{{Теорема
|about=
|statement=
}}
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]