Изменения
Нет описания правки
|definition=
Пусть <tex>A:X \to X</tex> - линейный оператор (ЛО)<br>
<tex>x\ne 0_X</tex> называется '''собственным вектором'''<tex>A</tex>, если <tex>x \in L</tex>, где <tex>L</tex> - [[Инвариантные подпространства | инвариантное подпространство]] <tex>A</tex>, и <tex>\dim L = 1</tex>
}}
|neat =
|definition=
Пусть <tex>A:X \to X</tex> <br> <tex>x\ne 0_X</tex> называется '''собственным вектором'''<tex>A</tex>, если существует <tex>\lambda \in F : Ax = \lambda x</tex>
}}
Предыдущие 2 определения эквивалентны.
|proof=
<math> (1) \Rightarrow (2) : x \in L, \dim L=1 \Rightarrow Ax \in L \ (</math>т. к. <math>x \ne 0_X \Rightarrow</math> базис <math>L = \{x\}) \Rightarrow Ax \neq =\lambda x</math> (единственным образом) <br><tex> (1) \Leftarrow (2) : \exists \lambda: Ax = \lambda x \Rightarrow x \in</tex> одном.(одномерному) п.п.подпространству <tex>L</tex>, где <tex>L =</tex> линейная оболочка <tex>\{x\}, Ax = \lambda x \in L</tex>
}}
'''Собственные векторы''', отвечающие различным '''собственным значениям''' образуют ЛНЗ набор
|proof=
1)База: рассмотрим <tex>\lambda \leftrightarrow x1 \ne 0_x \ \{x1\} </tex> - ЛНЗнабор.</texbr> 2) <tex>\{x1,x2, ... , x_{m-1}\} \leftrightarrow \{\lambda _1, ... \lambda _ m-1 \}</tex> - ЛНЗ. Рассмотрим <tex>\{x1, ..., x_m \} </tex>- доказать докажем, что тоже ЛНЗ.
<tex>\sum\limits_{ki=1}^m \alpha^i x_i = 0 </tex>
<tex>A( \sum\limits_{ki=1}^m \alpha_i x_i) = \sum\limits_{ki=1}^m \alpha_i Ax_i = \sum\limits_{ki=1}^m \alpha_i \lambda_i x_i = 0_x</tex> (1)
<tex>\lambda_m( \sum\limits_{ki=1}^m \alpha_i x_i) = \sum\limits_{ki=1}^m \alpha_i \lambda_m x_i = 0_x</tex> (2)
(1) - (2) : <tex>\alpha_1(\lambda_1 - \lambda_m)x_1 + ... + \alpha_malpha_{m-1}(\lambda_mlambda_{m-1 } - \lambda_m)x_mx_{m-1 } + 0_x = 0_x</tex>
По предположению индукции <tex>\{x1,x2, ... , x_{m-1}\}</tex> - ЛНЗ <tex>\Rightarrow \alpha_1 (\lambda_1-\lambda_m)=0 ... \alpha_{m-1} (\lambda_{m-1} - \lambda_{m}) =0 </tex>, при этом все <tex>(\lambda_{i-1}-\lambda_m) \ne 0</tex>
<tex>\Rightarrow </tex> все <tex>\alpha_i = 0</tex> <tex>\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i x_i = 0_x</tex>
<tex>\Rightarrow \alpha_m x_m = 0_x </tex>, где <tex>x_m \ne 0</tex> <tex>\Rightarrow \alpha_m=0</tex>, те набор ЛНЗ.
}}
<math dpi = "145">{C}= \begin{pmatrix}
({\alpha}_{111}^{1}- \lambda) \xi^1 & {\alpha}_{112}^{1} \xi^2 & \cdots & {\alpha}_{1nn}^{1} \xi^n \\{\alpha}_{211}^{2} \xi^1 & ({\alpha}_{222}^{2}- \lambda) \xi^2 & \cdots & {\alpha}_{2nn}^{2} \xi^n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{\alpha}_{n11}^{n} \xi^1 & {\alpha}_{n22}^{n} \xi^2 & \cdots & ({\alpha}_{nnn}^{n}- \lambda) \xi^n \\
\end{pmatrix}</math>
Если <tex>det(A- \lambda E) \ne 0 \Rightarrow \exists! </tex> тривиальное решение <tex>(0,0 ... ,0)^T</tex>
Если <tex>det(A- \lambda E) = 0 \Rightarrow \exists </tex> нетривиальное решение <tex>\Rightarrow \exists</tex> СВ <tex>x</tex>
<tex>\chi_A (\lambda) = 0 </tex> - характеристический полином
<tex>det(A- \lambda E)X = 0</tex> - уравнение на СВ
Из уравнения на СЗ находим <tex>\{\lambda_i \}</tex> - корпни корни характеристического полинома, они же - характеристические числа.
Затем подставляем каждую <tex>\lambda_i</tex> в уравнение на СВ по очереди на находим СВ <tex>x_i \leftrightarrow \lambda_i</tex>.
|proof=
Одна из теорем высшей алгебры гласит, что у <tex>\forall</tex> полинома комплексной переменной всегда есть корень.
}}
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
