137
правок
Изменения
Новая страница: «{{Определение |definition= Пусть <tex>E</tex> - унитарное пространство. Базис <tex dpi='140'>\{e_i\}_{i=1}^{n}</tex> н...»
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>E</tex> - унитарное пространство. Базис <tex dpi='140'>\{e_i\}_{i=1}^{n}</tex> называется '''ортогональным''', если <tex>\left \langle e_i;e_j \right \rangle=0</tex>, где <tex>(i \ne j)</tex>.
}}
{{Определение
|definition=
Базис <tex dpi='140'>\{e_i\}_{i=1}^{n}</tex> называется '''ортонормированным''', если <tex>\left \langle e_i;e_j \right \rangle=\delta_{ij}</tex>, то есть:
1) <tex>e_i \bot e_j</tex>, для <tex>(i \ne j)</tex>.
2) <tex> \Vert e_i \Vert=1 \ (i=1..n) </tex>
}}
=Процесс ортогонализации набора векторов (Грам-Шмидт)=
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex dpi='140'>\{x_i\}_{i=1}^{n} - </tex> ЛНЗ <tex>(x_i \ne 0)</tex>
1) <tex>e_1=x_1</tex>
2) <tex>e_2=x_2 + \alpha_1 e_1</tex>
и так далее
k) <tex>e_k=x_k + \alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + ... + \alpha_{k-1} e_{k-1}</tex> <tex>(*)</tex>
|proof=
На 2-ом шаге надо, чтобы <tex>e_1 \bot e_2</tex>, то есть
<tex>0= \left \langle e_2;e_1 \right \rangle = \left \langle x_2;e_1 \right \rangle + \alpha_1 \left \langle e_1;e_1 \right \rangle </tex> <tex dpi='140'> \Rightarrow \alpha_1 = \frac{- \left \langle x_2;e_1 \right \rangle }{ \left \langle e_1;e_1 \right \rangle } </tex>
На k-ом шаге уже есть <tex>e_1, e_2...e_{k-1}</tex> <tex>-</tex> попарно <tex> \bot \ (k \leqslant m)</tex>. Надо, чтобы <tex>e_k \bot e_i \ (i=1..k-1)</tex>
Рассмотрим <tex> \left \langle (*);e_i \right \rangle </tex>
Необходимо, чтобы <tex>0=\left \langle e_k;e_i \right \rangle = \left \langle x_k;e_i \right \rangle + \alpha_1 \left \langle e_1;e_i \right \rangle +...+ \alpha_i \left \langle e_i;e_i \right \rangle +...+ \alpha_{k-1} \left \langle e_{k-1};e_i \right \rangle </tex>, где <tex>\left \langle e_i;e_j \right \rangle =0, \ i \ne j </tex>
Тогда <tex dpi='140'>\alpha_i = \frac{- \left \langle x_k;e_i \right \rangle }{ \left \langle e_i;e_i \right \rangle }</tex>
{{Лемма
|statement=
Данный процесс не оборвется, то есть все <tex>e_i \ne 0</tex>
|proof=
Докажем методом от противного.
}}
}}
|definition=
Пусть <tex>E</tex> - унитарное пространство. Базис <tex dpi='140'>\{e_i\}_{i=1}^{n}</tex> называется '''ортогональным''', если <tex>\left \langle e_i;e_j \right \rangle=0</tex>, где <tex>(i \ne j)</tex>.
}}
{{Определение
|definition=
Базис <tex dpi='140'>\{e_i\}_{i=1}^{n}</tex> называется '''ортонормированным''', если <tex>\left \langle e_i;e_j \right \rangle=\delta_{ij}</tex>, то есть:
1) <tex>e_i \bot e_j</tex>, для <tex>(i \ne j)</tex>.
2) <tex> \Vert e_i \Vert=1 \ (i=1..n) </tex>
}}
=Процесс ортогонализации набора векторов (Грам-Шмидт)=
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex dpi='140'>\{x_i\}_{i=1}^{n} - </tex> ЛНЗ <tex>(x_i \ne 0)</tex>
1) <tex>e_1=x_1</tex>
2) <tex>e_2=x_2 + \alpha_1 e_1</tex>
и так далее
k) <tex>e_k=x_k + \alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + ... + \alpha_{k-1} e_{k-1}</tex> <tex>(*)</tex>
|proof=
На 2-ом шаге надо, чтобы <tex>e_1 \bot e_2</tex>, то есть
<tex>0= \left \langle e_2;e_1 \right \rangle = \left \langle x_2;e_1 \right \rangle + \alpha_1 \left \langle e_1;e_1 \right \rangle </tex> <tex dpi='140'> \Rightarrow \alpha_1 = \frac{- \left \langle x_2;e_1 \right \rangle }{ \left \langle e_1;e_1 \right \rangle } </tex>
На k-ом шаге уже есть <tex>e_1, e_2...e_{k-1}</tex> <tex>-</tex> попарно <tex> \bot \ (k \leqslant m)</tex>. Надо, чтобы <tex>e_k \bot e_i \ (i=1..k-1)</tex>
Рассмотрим <tex> \left \langle (*);e_i \right \rangle </tex>
Необходимо, чтобы <tex>0=\left \langle e_k;e_i \right \rangle = \left \langle x_k;e_i \right \rangle + \alpha_1 \left \langle e_1;e_i \right \rangle +...+ \alpha_i \left \langle e_i;e_i \right \rangle +...+ \alpha_{k-1} \left \langle e_{k-1};e_i \right \rangle </tex>, где <tex>\left \langle e_i;e_j \right \rangle =0, \ i \ne j </tex>
Тогда <tex dpi='140'>\alpha_i = \frac{- \left \langle x_k;e_i \right \rangle }{ \left \langle e_i;e_i \right \rangle }</tex>
{{Лемма
|statement=
Данный процесс не оборвется, то есть все <tex>e_i \ne 0</tex>
|proof=
Докажем методом от противного.
}}
}}
