1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
== Матрица перехода к новому базису ==
<tex>\{e_i\}_{i=0}^n \xrightarrow{\ T\ } \{\tilde{e}_k\}_{k=0}^n,</tex> где <tex>\tilde{e}_k = \sum\limits_{j=1}^n \tau^i_k e_i</tex>
<tex>T = ||\tau^i_k||</tex>
{{Определение
|definition= Заданная матрица <tex>T</tex> называется матрицей перехода от базиса <tex>e_i</tex> к базису <tex>\tilde{e}_k</tex>
}}
{{Теорема
|statement = <tex>T</tex> {{---}} невырожденная матрица <tex>(det T \ne 0)</tex>
|proof= Столбцы матрицы линейно независимы <tex>\Rightarrow Rg T = n \Rightarrow det T \ne 0</tex>
}}
Тогда <tex>\exists S = T^{-1} (</tex> далее <tex>S = ||\sigma^i_k||)</tex>
'''Итого:''' <tex>\{e_i\}_{i=0}^n \overset{T}{\underset{T^{-1}}{\longleftrightarrow}} \{\tilde{e}_k\}_{k=0}^n</tex>
== Преобразование сопряженного базиса ==
<tex> \{e_i\}_{i=0}^{n} </tex> {{---}} базис <tex>X ; \quad \{f^j\}_{j=0}^{n} </tex> {{---}} базис <tex>X^*</tex>
<tex> (f^j; e_i) = \delta^j_i</tex>
{{Теорема
|statement = <tex> \{f^j\}_{j=0}^n \overset{T^{-1}}{\underset{T}{\longleftrightarrow}} \{\tilde{f}^k\}_{k=0}^n</tex>
|proof=
<tex> \tilde{f}^k \overset{!}{=} \sum\limits_{j = 1}^{n} \beta^k_j f^i</tex>
Пусть <tex>B</tex> {{---}} матрица перехода от <tex>f^j</tex> к <tex>\tilde{f}^k</tex>
Рассмотрим <tex>\delta^k_i = (\tilde{f}^k; \tilde{e}_i) = (\sum\limits_{j=1}^n \beta^k_j f^j; \sum\limits_{s=1}^n \tau^s_i e_s) =
\sum\limits_{j, s} \beta^k_j \tau^s_i (f^j; e_s) = \sum\limits_{j=1}^n \beta^k_j \tau^j_i \delta^k_i</tex>
Получается, что <tex>B \cdot T = E \Rightarrow B = T^{-1} = S</tex>
}}
== Преобразование координат векторов <tex>X</tex> и <tex>X^*</tex> ==
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
