262
правки
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
}}
NB: <tex>\mathcal{P}^{\bot}_L x = \sum_{\text{i=1}}^{k}\varphi_{i}e_{i}\;\;(k \le n = \dim E)</tex>
==Неравенство Бесселя==
{{Лемма
|statement=
<tex>{\Vert\mathcal{P}^{\bot}_L x\Vert}^2 = \left\langle \mathcal{P}^{\bot}_L x; \mathcal{P}^{\bot}_L x\right\rangle =
\left\langle\sum_{\text{i=1}}^{k}\varphi_{i}e_{i}; \sum_{\text{j=1}}^{k}\varphi_{j}e_{j}\right\rangle =
\sum_{\text{i,j=1}}^{k} \varphivarphi_i\cdot\overline{\varphivarphi_j}\left\langle e_i, e_j\right\rangle</tex>;
Т.к. у нас ОРТН-базис, то <tex>\left\langle e_i, e_j\right\rangle = \delta_{ij}</tex>, поэтому одно суммирование можно убрать:
<tex>\sum_{\text{i,j=1}}^{k} \varphivarphi_i\cdot\overline{\varphivarphi_j}\left\langle e_i, e_j\right\rangle = \sum_{\text{i=1}}^{k} \varphivarphi_i\cdot\overline{\varphivarphi_j} = \sum_{\text{i=1}}^{k} {|\varphivarphi_i|}^2</tex>}} {{Теорема|about = неравенство Бесселя|statement = <tex>\Vert x\Vert^2 \ge \sum_{\text{i=1}}^{k} {|\varphi_i|}^2</tex>|proof= Утверждается, что равенство напрямую следует из леммы}}==Равенство Парсеваля=={{Теорема|about= равенство Парсеваля|statement= <tex>\Vert x\Vert^2 =\sum_{\text{i=1}}^{k} {|\varphi_i|}^2 \Longleftrightarrow x\in L</tex>|proof= Утверждается, что равенство напрямую следует из леммы}}{{Теорема|statement=Для того, чтобы ОРТН-система векторов <tex>{\{e_i\}}^k_{i=1}</tex> могла бы быть полной в евклидовом пространстве <tex>E</tex>, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство Парсеваля: <tex>\Vert x\Vert^2 =\sum_{\text{i=1}}^{k} {|\varphi_i|}^2</tex>, где <tex>n=\dim E</tex> |proof=Достаточность: пусть <tex>n\ne\dim E</tex>, тогда т.к. <tex>{\{e_i\}}^k_{i=1}</tex> - ОРТН-система, то набор <tex>{\{e_i\}}^k_{i=1}</tex> - ЛНЗ(по определению ортонормированности), а значит он может быть полным, только если <tex>n=\dim L</tex>Необходимость: полностью следует из равенства Парсеваля.
}}
