262
правки
Изменения
Новая страница: «==Естественный изоморфизм евклидова пространства и его сопряжённого== Рассмотрим отобра...»
==Естественный изоморфизм евклидова пространства и его сопряжённого==
Рассмотрим отображение <tex>x \in E \longrightarrow f \in E^*</tex> по формуле <tex>\left\langle x,y\right\rangle = (f;y); \forall y \in E</tex>
Назовём это равенство <tex>(*)</tex>
{{Лемма
|about = 1
|statement = Пусть <tex>x \rightarrow f_1</tex> и <tex>x \rightarrow f_2</tex>. Тогда <tex>f_1=f_2</tex>
|proof = По равенству <tex>(*): \left\langle x_1,y\right\rangle=(f;y)</tex> и <tex>\left\langle x_2,y\right\rangle=(f;y)</tex>
Вычтя одно из другого, по линейности <tex>E^*</tex> получим: <tex>0 = (f_1-f_2;y); \forall y \in E \Longrightarrow f_1-f_2= 0_E^* \Longrightarrow f_1=f_2</tex>
Таким образом, вектору <tex>x</tex> соответствует единственная форма <tex>f</tex>
}}
{{Лемма
|about = 2
|statement = Пусть <tex>f \rightarrow x_1</tex> и <tex>f \rightarrow x_2</tex>. Тогда <tex>x_1=x_2</tex>
|proof = По равенству <tex>(*): \left\langle x,y\right\rangle=(f_1;y)</tex> и <tex>\left\langle x,y\right\rangle=(f_2;y)</tex>
Вычтя одно из другого, по линейности <tex>E^*</tex> получим: <tex>\left\langle x_1-x_2,y\right\rangle = 0; \forall y \in E \Longrightarrow x_1-x_2= 0_E \Longrightarrow x_1=x_2</tex>
Таким образом, форме <tex>f</tex> соответствует единственный вектор <tex>x</tex>
}}
{{Лемма
|about = 3, о линейности изоморфизма
|statement = Если <tex>x_1 \longleftrightarrow f_1</tex> и <tex> x_2 \longleftrightarrow f_2</tex>, то <tex> \Longrightarrow x_1+x_2 \longleftrightarrow f_1+f_2</tex> и <tex> \alpha x_1 \longleftrightarrow \alpha f_1</tex>
|proof= Линейность изоморфизма напрямую следует из линейности обоих пространств:
<tex>\left\langle \alpha x_1,y\right\rangle = \alpha\left\langle x_1,y\right\rangle = \alpha(f_1,y)= ( \alpha f_1, y);</tex>
}}
{{Теорема
|statement=Формула <tex>(*): \left\langle x,y\right\rangle = (f;y); \forall y \in E</tex> определяет обратимый линейный оператор <tex>\mathcal{G}: E \Longrightarrow E^*(G\cdot x=f); \; \exists \mathcal{G}^{-1}: E^* \Longrightarrow E(G^{-1}\cdot f=x)</tex>
}}
Изоморфизм конечномерного Евклидова пространства является естественным изоморфизмом.
==Пересадка формы из <tex>E^*</tex> в <tex>E</tex>==
Рассмотрим <tex>{\{e_i\}}_{i=1}^n</tex> - базис <tex>E</tex>; <tex>{\{f^k\}}_{k=1}^n</tex> - базис <tex>E^*</tex>
<tex>(f^k;e_i) = \delta^k_i</tex>(сопряжённые базисы)
Рассмотрим <tex>G^{-1}f^k = e_i \in E</tex>
{{Лемма
|about = 1
|statement= <tex>{\{e^k\}}_{k=1}^n</tex> - базис <tex>E</tex>;
|proof=ЛНЗ набор <tex>\{ f^1, ... , f^n\}</tex> под действием <tex>G^{-1}</tex> переходит в <tex>\{ e^1, ... , e^n\}</tex>
Значит, <tex>{\{e^k\}}_{k=1}^n</tex> - базис <tex>E</tex>
}}
{{Лемма
|about = 2
|statement= <tex>\left\langle e^k;e^i\right\rangle=\left\langle e^i;e^k\right\rangle = \delta^k_i</tex>;
|proof= <tex>\left\langle e^k;y\right\rangle = (f^k;y); \forall y \in E</tex> Пусть <tex>y=e_i</tex>, тогда <tex>\left\langle e^k;e_i\right\rangle=(f^k;e_i)=\delta^k_i</tex>
Рассмотрим <tex>\left\langle e_i;e^k\right\rangle=\overline{\left\langle e^k;e_i\right\rangle}=\overline{\delta^k_i} = \delta^i_k</tex>
}}
Рассмотрим отображение <tex>x \in E \longrightarrow f \in E^*</tex> по формуле <tex>\left\langle x,y\right\rangle = (f;y); \forall y \in E</tex>
Назовём это равенство <tex>(*)</tex>
{{Лемма
|about = 1
|statement = Пусть <tex>x \rightarrow f_1</tex> и <tex>x \rightarrow f_2</tex>. Тогда <tex>f_1=f_2</tex>
|proof = По равенству <tex>(*): \left\langle x_1,y\right\rangle=(f;y)</tex> и <tex>\left\langle x_2,y\right\rangle=(f;y)</tex>
Вычтя одно из другого, по линейности <tex>E^*</tex> получим: <tex>0 = (f_1-f_2;y); \forall y \in E \Longrightarrow f_1-f_2= 0_E^* \Longrightarrow f_1=f_2</tex>
Таким образом, вектору <tex>x</tex> соответствует единственная форма <tex>f</tex>
}}
{{Лемма
|about = 2
|statement = Пусть <tex>f \rightarrow x_1</tex> и <tex>f \rightarrow x_2</tex>. Тогда <tex>x_1=x_2</tex>
|proof = По равенству <tex>(*): \left\langle x,y\right\rangle=(f_1;y)</tex> и <tex>\left\langle x,y\right\rangle=(f_2;y)</tex>
Вычтя одно из другого, по линейности <tex>E^*</tex> получим: <tex>\left\langle x_1-x_2,y\right\rangle = 0; \forall y \in E \Longrightarrow x_1-x_2= 0_E \Longrightarrow x_1=x_2</tex>
Таким образом, форме <tex>f</tex> соответствует единственный вектор <tex>x</tex>
}}
{{Лемма
|about = 3, о линейности изоморфизма
|statement = Если <tex>x_1 \longleftrightarrow f_1</tex> и <tex> x_2 \longleftrightarrow f_2</tex>, то <tex> \Longrightarrow x_1+x_2 \longleftrightarrow f_1+f_2</tex> и <tex> \alpha x_1 \longleftrightarrow \alpha f_1</tex>
|proof= Линейность изоморфизма напрямую следует из линейности обоих пространств:
<tex>\left\langle \alpha x_1,y\right\rangle = \alpha\left\langle x_1,y\right\rangle = \alpha(f_1,y)= ( \alpha f_1, y);</tex>
}}
{{Теорема
|statement=Формула <tex>(*): \left\langle x,y\right\rangle = (f;y); \forall y \in E</tex> определяет обратимый линейный оператор <tex>\mathcal{G}: E \Longrightarrow E^*(G\cdot x=f); \; \exists \mathcal{G}^{-1}: E^* \Longrightarrow E(G^{-1}\cdot f=x)</tex>
}}
Изоморфизм конечномерного Евклидова пространства является естественным изоморфизмом.
==Пересадка формы из <tex>E^*</tex> в <tex>E</tex>==
Рассмотрим <tex>{\{e_i\}}_{i=1}^n</tex> - базис <tex>E</tex>; <tex>{\{f^k\}}_{k=1}^n</tex> - базис <tex>E^*</tex>
<tex>(f^k;e_i) = \delta^k_i</tex>(сопряжённые базисы)
Рассмотрим <tex>G^{-1}f^k = e_i \in E</tex>
{{Лемма
|about = 1
|statement= <tex>{\{e^k\}}_{k=1}^n</tex> - базис <tex>E</tex>;
|proof=ЛНЗ набор <tex>\{ f^1, ... , f^n\}</tex> под действием <tex>G^{-1}</tex> переходит в <tex>\{ e^1, ... , e^n\}</tex>
Значит, <tex>{\{e^k\}}_{k=1}^n</tex> - базис <tex>E</tex>
}}
{{Лемма
|about = 2
|statement= <tex>\left\langle e^k;e^i\right\rangle=\left\langle e^i;e^k\right\rangle = \delta^k_i</tex>;
|proof= <tex>\left\langle e^k;y\right\rangle = (f^k;y); \forall y \in E</tex> Пусть <tex>y=e_i</tex>, тогда <tex>\left\langle e^k;e_i\right\rangle=(f^k;e_i)=\delta^k_i</tex>
Рассмотрим <tex>\left\langle e_i;e^k\right\rangle=\overline{\left\langle e^k;e_i\right\rangle}=\overline{\delta^k_i} = \delta^i_k</tex>
}}
